סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 39% — שטח טרפז: S = ½ × (a + b) × h = ½ × (8 + 14) × 6 = ½ × 22 × 6 = 66 מ״ר. שטח גינה ירוקה: 66 − 40 = 26 מ״ר. אחוז ירוק: 26 ÷ 66 × 100 ≈ 39.4% ≈ 39%.
2. 60 סמ״ר — שורטט גובה מהקודקוד אל הבסיס — הוא חוצה את הבסיס ל-5 ס״מ + 5 ס״מ. משפט פיתגורס על חצי המשולש: h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → h = 12 ס״מ. שטח = ½ × בסיס × גובה = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
3. 1/6 — מספרים אי-זוגיים: 1, 3, 5. מספרים גדולים מ-4: 5, 6. החיתוך: רק 5. P = 1/6.
4. x ≤ 7 — 3(x − 2) ≤ 2x + 1 → 3x − 6 ≤ 2x + 1 → x ≤ 7.
5. 2,808 ₪ — וֶתֶר: c² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 → c = 17 מ׳. היקף: 8 + 15 + 17 = 40 מ׳. עלות לפני מע״מ: 40 × 60 = 2,400 ₪. כולל 17% מע״מ: 2,400 × 1.17 = 2,808 ₪.
6. 0.936x — שלב 1 — לאחר הנחה 20%: מחיר = x · 0.8 שלב 2 — לאחר תוספת מע"מ 17%: מחיר = 0.8x · 1.17 = 0.936x לכן הביטוי הפשוט הוא 0.936x.
7. -6x+10 — -2·3x=-6x, -2·(-5)=+10.
8. 1/221 — P(מלך ראשון) = 4/52. לאחר שליפת מלך נשארו 51 קלפים ו-3 מלכים → P(מלך שני | ראשון מלך) = 3/51. P(שניהם מלכים) = (4/52) × (3/51) = 12 / 2652 = 1/221.
9. ירד 1% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה 10%: 100 × 1.1 = 110 ₪. לאחר ירידה 10%: 110 × 0.9 = 99 ₪. שינוי: (99 − 100) ÷ 100 = −1% → ירד 1%.
10. x=4 — 3x=12, ולכן x=4.
11. 11 — שיפוע: m = (7 − 1) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. משוואה: y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1. ב-x = 6: y = 2(6) − 1 = 12 − 1 = 11.
12. 11 ס״מ — שלב 1 — שטח טרפז: ((9 + 13)/2) × 6 = 11 × 6 = 66 סמ״ר. שלב 2 — שטח המלבן זהה: 66 סמ״ר, גובהו 6 ס״מ. שלב 3 — אורך המלבן: 66 ÷ 6 = 11 ס״מ.
13. 48 סמ״ר — הגובה יורד לאמצע הבסיס (12÷2 = 6 סמ). פיתגורס: h² + 6² = 10² h² = 100 − 36 = 64 → h = 8 סמ. שטח = ½ × 12 × 8 = 48 סמ״ר.
14. x > 2 — שלב 1 — רווח חיובי: 3x − 6 > 0. שלב 2 — 3x > 6. שלב 3 — x > 2. לכן נדרשים יותר מ-2 מוצרים כדי להרוויח.
15. 2/5 — 4/10 = 2/5.
16. 100 סמ״ר — אם הצלעות הן a ו-b אז 2(a + b) = 40, כלומר a + b = 20. השטח a · b מקסימלי כאשר a = b = 10 (ריבוע). שטח מקסימלי: 10 · 10 = 100.
17. 800,000 ש״ח, ירד 160,000 ש״ח — שלב 1: ירידה 20% → נשאר 80%=0.8. מקורי×0.8=640,000 ← מקורי=800,000 ש״ח. שלב 2: ירידה=800,000−640,000=160,000 ש״ח.
18. 30° — זוויות הבסיס: ∠B = ∠C = (180° − 40°)/2 = 70°. במשולש BDC (שווה-שוקיים, BD = BC): ∠BDC = ∠BCD = 70°, אז ∠DBC = 180° − 140° = 40°. לכן ∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 70° − 40° = 30°.
19. 5 — 3^2+4^2=25, √25=5.
20. 34 ס״מ — שלב 1 — נוסחת היקף מלבן: 2 × (אורך + רוחב). שלב 2 — הצבה: 2 × (12 + 5) = 2 × 17 = 34 ס״מ.
21. 27 — חוק חילוק חזקות עם בסיס שווה: 3⁵ ÷ 3² = 3^(5−2) = 3³. 3³ = 27.
22. 39.2 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (18 + 10) × 8 = ½ × 28 × 8 = 112 מ״ר. שטח גינה: 0.35 × 112 = 39.2 מ״ר.
23. שיפוע 3, חיתוך ציר y: −1 — הפונקציה בצורה y = mx + b. m (שיפוע) = 3. b (חיתוך ציר y) = −1. בדיקה: כש-x = 0 → y = 3(0) − 1 = −1. ✓
24. 1/4 — 1/2 · 1/2 = 1/4.
25. 2:3 — מחלקים את שני הצדדים ב-6: 12:18 = 2:3
26. ירידה של 10% — 100 × 1.20 = 120. 120 × 0.75 = 90. מ-100 ל-90 → ירידה של 10%.
27. 28.8 מ׳ — שלב 1: נסמן רוחב=w, אורך=3w. היקף: 2(w+3w)=8w=48 ← w=6 מ׳. שלב 2: 60% מ-48 = 0.6×48 = 28.8 מ׳.
28. 60 — מקורי·1.5=90, ולכן 90/1.5=60.
29. 76 — סכום: 75 + 80 + 90 + 65 + 70 = 380. ממוצע: 380 ÷ 5 = 76.
30. 100 ק״מ — חלק ברכב: ⅓ × 240 = 80 ק״מ. חלק באוטובוס: ¼ × 240 = 60 ק״מ. סה״כ שנעשה: 80 + 60 = 140 ק״מ. ברכבת: 240 − 140 = 100 ק״מ.
31. כן — 2·2+3=7. הנקודה מקיימת.
32. 60 סמ״ר — הגובה לבסיס חוצה אותו לשני חצאים בני 5 סמ. h² + 5² = 13² → h² = 144 → h = 12. S = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
33. ירד 9% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר ירידה 30%: 100 × 0.7 = 70 ₪. לאחר עלייה 30%: 70 × 1.3 = 91 ₪. שינוי: (91 − 100) ÷ 100 = −9% → ירד 9%.
34. גובה 20 מ׳ — מתאים: $15^2 + 20^2 = 25^2$ — גובה נקודת ההישענות: $\frac{4}{5} \times 25 = 20$ מ׳.\n\nבדיקת פיתגורס (ניצב $= 15$, ניצב $= 20$, יתר $= 25$):\n$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ ✓\n\nהמסיחים האחרים אינם מקיימים את משפט פיתגורס:\n- גובה 18 מ׳: $15^2 + 18^2 = 225 + 324 = 549 \neq 625$\n- גובה 10 מ׳: $15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325 \neq 625$\n- גובה 15 מ׳: $15^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450 \neq 625$\n\nרק גובה 20 מ׳ מקיים את פיתגורס ועקבי עם כל הנתונים.בדיקת פיתגורס (ניצב = 15, ניצב = 20, יתר = סולם = 25): 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25² ✓ הנתונים עקביים — הסולם (25 מ׳) הוא אכן היתר של המשולש הישר-זווית.
35. 5x − 2 — איסוף איברים דומים: מקדמי x: 2 − 1 + 4 = 5. מספרים חופשיים: −5 + 3 = −2. תוצאה: 5x − 2.
36. −1 — הצבה: 11 = 2a + 3 → a = 4. f(x) = 4x + 3. f(−1) = 4·(−1) + 3 = −1.
37. 1620 ש"ח — אחרי עלייה: 1500×1.2=1800. אחרי ירידה: 1800×0.9=1620
38. 4x — (3+2-1)x = 4x
39. 4 — 7 גדול מ-3 בערך מוחלט, הסימן חיובי: 7-3=4
40. 36 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (12 + 8) × 9 = ½ × 20 × 9 = 90 מ״ר. שטח בנייה: 0.40 × 90 = 36 מ״ר.