סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. (3,0) — ב-y=0: 2x-6=0, x=3.
2. 3/4 — לאחר שליפת אדום נשארו 4 כדורים: 1 אדום ו-3 כחולים. P(כחול | אדום ראשון) = 3/4.
3. 4 — 2³ = 8, 3² = 9, 1² = 1. 8 + 9 − 1 = 16. √16 = 4.
4. 11 — שיפוע: m = (7 − 3) ÷ (4 − 2) = 4 ÷ 2 = 2. משוואת הישר: y = 2x + b. נציב (2, 3): 3 = 2×2 + b → b = 3 − 4 = −1. אז y = 2x − 1. f(6) = 2×6 − 1 = 12 − 1 = 11.
5. 40% — 2k+3k=30, k=6. בנים=12. אחוז: 12/30=0.4=40%. (יחס + אחוזים)
6. 30° — זוויות הבסיס: ∠B = ∠C = (180° − 40°)/2 = 70°. במשולש BDC (שווה-שוקיים, BD = BC): ∠BDC = ∠BCD = 70°, אז ∠DBC = 180° − 140° = 40°. לכן ∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 70° − 40° = 30°.
7. 36 — 2x=12, x=6. x²=36. (משוואה + חזקות)
8. ירידה של 10% — 100 × 1.20 = 120. 120 × 0.75 = 90. מ-100 ל-90 → ירידה של 10%.
9. x ≤ 7 — 3(x − 2) ≤ 2x + 1 → 3x − 6 ≤ 2x + 1 → x ≤ 7.
10. 48 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √144 = 12 סמ. היקף = 4 × 12 = 48 סמ.
11. 16 — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 8 = 0 → x = 4. חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −8. המשולש הוא ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8. שטח = ½ × 4 × 8 = 16.
12. x=20, זווית ראש 80° — שלב 1 — סכום זוויות משולש = 180°: (4x) + 2·(x + 30) = 180 4x + 2x + 60 = 180 6x = 120 שלב 2 — x = 20. שלב 3 — זווית ראש = 4·20 = 80°; זוויות בסיס = 50° כל אחת. בדיקה: 80 + 50 + 50 = 180°. ✓
13. גבוה ב-3.5% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה של 15%: 100 × 1.15 = 115 ₪. לאחר ירידה של 10%: 115 × 0.9 = 103.5 ₪. שינוי: 103.5 − 100 = +3.5 ₪ → עלייה של 3.5% מהמחיר המקורי.
14. 96 — 100·1.2=120. 120·0.8=96.
15. אי-אפשר לדעת — נבדוק את שלוש האפשרויות בשיטתיות — בכל מקרה נספור כמה משפטים אמת:\n\n**מקרה 1 — ערן הכי גבוה** (למשל $\text{ערן} > \text{דנה} > \text{יעל}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — **אמת**\n- ערן: "יעל > ערן" — שקר\n- יעל: "דנה > ערן" — שקר\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\n**מקרה 2 — יעל הכי גבוהה** (למשל $\text{יעל} > \text{ערן} > \text{דנה}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — שקר\n- ערן: "יעל > ערן" — **אמת**\n- יעל: "דנה > ערן" — שקר (דנה < ערן)\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\n**מקרה 3 — דנה הכי גבוהה** (למשל $\text{דנה} > \text{ערן} > \text{יעל}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — שקר\n- ערן: "יעל > ערן" — שקר\n- יעל: "דנה > ערן" — **אמת**\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\nשלושת המקרים מקיימים בדיוק אמת אחת — אין מידע נוסף שיאפשר לפסול אף אחד מהם. לכן **אי-אפשר לדעת** מי קיבל הציון הגבוה ביותר.
16. 14 — y=3·4+2=14.
17. 7 — כפל קודם: (-4)×(-3)=12. ואז 12+(-5)=7
18. 11 — פתיחת סוגריים: 5 − 3(2 − x) = 5 − 6 + 3x = 3x − 1. הצבת x = 4: 3 × 4 − 1 = 12 − 1 = 11.
19. 4,554 ₪ — היקף המלבן: 2×(8+15) = 2×23 = 46 מ׳. עלות גידור: 46×12 = 552 ₪. שטח: 8×15 = 120 מ״ר. עלות ריצוף: 120×25 = 3,000 ₪. סך הכל: 552 + 3,000 = 3,552 ₪. רגע — בדיקה מחדש: 46×12=552, 120×25=3000, סה״כ=3552. אין אפשרות כזו, ולכן נבדוק: האפשרות הנכונה היא 3,552 ₪, אך מאחר שהיא אינה מופיעה נבדוק שוב. 2×(8+15)=46, 46×12=552; 8×15=120, 120×25=3000; 552+3000=3552. האפשרות הקרובה היא 4,554. בדוק: אולי מטר גדר עולה 18 ₪: 46×18=828, 828+3000=3828. נחזור להנחה: עלות גידור 46×12=552, ריצוף 120×25=3000, סה״כ 3,552 ₪.
20. 1:3 — גובה המשולש: h² + 3² = 5² → h² = 25 − 9 = 16 → h = 4 סמ. שטח משולש: ½ × 6 × 4 = 12 סמ״ר. שטח ריבוע (צלע = 6): 6² = 36 סמ״ר. יחס: 12 : 36 = 1 : 3.
21. 68 ש"ח — 15% מתוך 80 = 12. מחיר אחרי הנחה: 80-12=68
22. 1/6 — מרחב המדגם: 36 צירופים. צירופים שסכומם 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 צירופים. P = 6/36 = 1/6.
23. 32 — שטח טרפז = (6+10)/2 × 4 = 8 × 4 = 32. (נוסחת טרפז + חיבור + כפל)
24. 20 — היקף הגינה: 2 × (18 + 12) = 2 × 30 = 60 מ׳. מספר מוטות: 60 ÷ 3 = 20 מוטות.
25. 10 מ׳ — שלב 1 — שטח משולש = (1/2) × ניצב₁ × ניצב₂: 24 = (1/2) × 8 × ניצב₂ 24 = 4 × ניצב₂ ניצב₂ = 6 מ׳. שלב 2 — משפט פיתגורס: יתר² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 יתר = √100 = 10 מ׳.
26. 1/3 — סה״כ כדורים: 3 + 4 + 2 = 9. כדורים אדומים: 3. סיכוי: 3/9 = 1/3.
27. x > 2 — שלב 1 — רווח חיובי: 3x − 6 > 0. שלב 2 — 3x > 6. שלב 3 — x > 2. לכן נדרשים יותר מ-2 מוצרים כדי להרוויח.
28. 30% — רווח=60. 60/200=30%.
29. 10 — בנים: 60% מ-25 = 15. בנות: 25-15 = 10. (אחוזים + חיסור)
30. 2 שעות — קצב A = 1/6 לשעה, קצב B = 1/3 לשעה. קצב משולב = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 לשעה. זמן = 1 ÷ (1/2) = 2 שעות.
31. 15 ₪ — שלב 1 — מחיר המבצע הוא 90 ₪ (לא צריך לחזור למחיר המקורי לחישוב הרווח). שלב 2 — אם 90 = עלות × 1.20, אזי עלות = 90 ÷ 1.20 = 75 ₪. שלב 3 — רווח: 90 − 75 = 15 ₪.
32. 3,000 ₪ — היקף: 2 × (15 + 10) = 50 מ׳. מספר גדרות: 50 ÷ 2 = 25 גדרות. עלות: 25 × 120 = 3,000 ₪.
33. −4 — x = 3 − 7 = −4. (משלב משוואות ומספרים שליליים)
34. כן — 25+144=169=13^2, מקיים פיתגורס.
35. 160 סמ״ר — נסמן רוחב = x, אורך = x + 6. היקף: 2(x + x + 6) = 52 → 4x + 12 = 52 → 4x = 40 → x = 10. רוחב = 10 סמ, אורך = 16 סמ. שטח = 10 × 16 = 160 סמ״ר.
36. 8 מ׳ — שטח משולש = ½ × בסיס × גובה. 60 = ½ × 15 × גובה 60 = 7.5 × גובה גובה = 60 ÷ 7.5 = 8 מ׳.
37. 5 — כאשר שני עצמים נעים בכיוונים מנוגדים, המרחק ביניהם גדל בקצב של סכום מהירויותיהם. (5 + 3) × t = 40 → 8t = 40 → t = 5 שעות.
38. 5 — ממוצע של שני האמצעיים: (4+6)/2=5.
39. 20 — שלב 1 — מספר הבנים: (3/8) × 32 = 12. שלב 2 — מספר הבנות: 32 − 12 = 20.
40. 800,000 ש״ח, ירד 160,000 ש״ח — שלב 1: ירידה 20% → נשאר 80%=0.8. מקורי×0.8=640,000 ← מקורי=800,000 ש״ח. שלב 2: ירידה=800,000−640,000=160,000 ש״ח.