סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 28 ס"מ — צלע = √49 = 7. היקף = 4×7 = 28. (שורש + שטח + היקף)
2. 68 ש"ח — 15% מתוך 80 = 12. מחיר אחרי הנחה: 80-12=68
3. 200 — האלכסון d במשולש ישר-זווית שניצביו צלעות הריבוע. d² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200. (האלכסון הוא קוטר המעגל; d = 10√2.)
4. 17 — ערך מוחלט תמיד חיובי: 12+5=17.
5. גובה 20 מ׳ — מתאים: $15^2 + 20^2 = 25^2$ — גובה נקודת ההישענות: $\frac{4}{5} \times 25 = 20$ מ׳.\n\nבדיקת פיתגורס (ניצב $= 15$, ניצב $= 20$, יתר $= 25$):\n$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ ✓\n\nהמסיחים האחרים אינם מקיימים את משפט פיתגורס:\n- גובה 18 מ׳: $15^2 + 18^2 = 225 + 324 = 549 \neq 625$\n- גובה 10 מ׳: $15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325 \neq 625$\n- גובה 15 מ׳: $15^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450 \neq 625$\n\nרק גובה 20 מ׳ מקיים את פיתגורס ועקבי עם כל הנתונים.בדיקת פיתגורס (ניצב = 15, ניצב = 20, יתר = סולם = 25): 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25² ✓ הנתונים עקביים — הסולם (25 מ׳) הוא אכן היתר של המשולש הישר-זווית.
6. 4 — AB + BA = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b) = 99 → a + b = 9. זוגות עם a > b ו-a+b=9 ו-a,b ספרות 1-9: (5,4), (6,3), (7,2), (8,1). סה״כ 4 זוגות.
7. x=3 — 15=5x, ולכן x=3.
8. 11 — שיפוע: m = (7 − 3) ÷ (4 − 2) = 4 ÷ 2 = 2. משוואת הישר: y = 2x + b. נציב (2, 3): 3 = 2×2 + b → b = 3 − 4 = −1. אז y = 2x − 1. f(6) = 2×6 − 1 = 12 − 1 = 11.
9. −2x + 7 — איסוף איברים דומים: מקדמי x: 3 − 1 − 4 = −2. מספרים חופשיים: 5 + 2 = 7. תוצאה: −2x + 7.
10. 160 סמ״ר — נסמן רוחב = x, אורך = x + 6. היקף: 2(x + x + 6) = 52 → 4x + 12 = 52 → 4x = 40 → x = 10. רוחב = 10 סמ, אורך = 16 סמ. שטח = 10 × 16 = 160 סמ״ר.
11. ₪100 — x × 0.8 × 1.25 = x × 1 = x. לכן x = 100. (אחוזים מורכבים)
12. 55 סמ״ר — שטח טרפז = ½ × (סכום הבסיסים) × גובה. S = ½ × (14 + 8) × 5 = ½ × 22 × 5 = 55 סמ״ר.
13. 660 ₪ — שטח בסיס: 6² = 36 סמ״ר. שטח 4 קירות: 4 × (6 × 4) = 4 × 24 = 96 סמ״ר. שטח כולל: 36 + 96 = 132 סמ״ר. עלות: 132 × 5 = 660 ₪.
14. 8 כסף ישנות; 27 נחושת חדשות — מטבעות ישנות: ⅖×60 = 24. מטבעות כסף ישנות: ⅓×24 = 8. מטבעות חדשות: 60−24 = 36. מטבעות נחושת חדשות: ¾×36 = 27.
15. 75 מ״ר — שלב 1: שטח מקורי=3w². שטח חדש=(3w+2)(w+2)=3w²+8w+4. גידול=8w+4=44 ← 8w=40 ← w=5. שלב 2: שטח מקורי=3×5²=75 מ״ר. בדיקה: חדש=(17)(7)=119. 119−75=44 ✓.
16. 4.8 ס״מ — יתר: √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10 ס״מ. גובה על היתר: h = (6×8)/10 = 48/10 = 4.8 ס״מ.
17. 2/5 — 4/10 = 2/5.
18. 3 — 3 מופיע 3 פעמים - הכי הרבה.
19. 52 מ״ר — שטח המלבן: 8 × 5 = 40 מ״ר. שטח המשולש: ½ × 8 × 3 = 12 מ״ר. שטח כולל: 40 + 12 = 52 מ״ר.
20. x=9, 2x=18 — 3x − 2x = 4 + 5 → x = 9. 2x = 18. (משוואות וכפל)
21. 6.2 — (5·4+7·6)/10 = 62/10 = 6.2.
22. 5 — עיקרון הכלה-הדחה: |אנגלית ∪ צרפתית| = 22 + 17 − 9 = 30. לא לומדים אף שפה: 35 − 30 = 5.
23. 108 מ״ר — שלב 1: 2(2x+x+3)=42 ← 6x+6=42 ← 6x=36 ← x=6. שלב 2: אורך=12 מ׳, רוחב=9 מ׳. שטח=12×9=108 מ״ר.
24. 4 — 7 ≡ 2 (mod 5). 7^50 ≡ 2^50 (mod 5). 2^4 = 16 ≡ 1 (mod 5). 2^50 = 2^(4·12 + 2) = (2^4)^12 · 2^2 ≡ 1 · 4 = 4.
25. 60 סמ״ר — שלב 1: הגובה חוצה בסיס ל-5 ס״מ. פיתגורס: h²+5²=13² ← h²=169−25=144 ← h=12 ס״מ. שלב 2: שטח=½×10×12=60 סמ״ר.
26. 4 שעות — שלב 1 — ברז 1 ממלא 1/6 לשעה, ברז 2 ממלא 1/12 לשעה. שלב 2 — קצב משולב: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 לשעה. שלב 3 — זמן מילוי: 1 ÷ (1/4) = 4 שעות.
27. 15 — קצב יחד: 1/6 עבודה לשעה. קצב א׳: 1/10 עבודה לשעה. קצב ב׳: 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15. פועל ב׳ לבדו: 15 שעות.
28. x=7 — חלק ב-3: x=21/3=7.
29. 17 — שיפוע: m = (11 − 3) ÷ (4 − 0) = 8 ÷ 4 = 2. חיתוך ציר y: b = 3 (מהנקודה (0, 3)). משוואה: y = 2x + 3. ב-x = 7: y = 2(7) + 3 = 17.
30. 77 — שלב 1 — סכום ציוני 25 תלמידים: 25 × 76 = 1900. שלב 2 — סכום חדש: 1900 + 100 = 2000. שלב 3 — מספר תלמידים חדש: 26. שלב 4 — ממוצע חדש: 2000 / 26 ≈ 76.9 ≈ 77.
31. כן, שניהם 24 — וֶתֶר: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 סמ. שטח: ½ × 6 × 8 = 24 סמ״ר. היקף: 6 + 8 + 10 = 24 סמ. שניהם 24 — כן, שווים (המספרים שווים אם כי יחידות שונות).
32. 79 — סכום: 5×60 + 8×75 + 7×85 + 5×95 = 300 + 600 + 595 + 475 = 1970. ממוצע = 1970 ÷ 25 = 78.8 ≈ 79.
33. y = 7 — שלב 1 — השווה: 2x + 3 = −x + 9 שלב 2 — 3x = 6 → x = 2. שלב 3 — הצב ב-f: y = 2·2 + 3 = 7.
34. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים (ממוצע 80): 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
35. 5 — לומדים לפחות אחת: 18 + 15 − 8 = 25 (עיקרון ההכלה וההפרדה). לא לומדים: 30 − 25 = 5. (תורת הקבוצות וחיסור)
36. 100 קמ"ש — שלב 1 — מרחק A: 2 · 2x = 4x ק"מ. שלב 2 — מרחק B: 2 · (x + 30) = 2x + 60 ק"מ. שלב 3 — משוואה: 4x − (2x + 60) = 40 4x − 2x − 60 = 40 2x = 100 x = 50. שלב 4 — מהירות A = 2x = 100 קמ"ש.
37. 39.2 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (18 + 10) × 8 = ½ × 28 × 8 = 112 מ״ר. שטח גינה: 0.35 × 112 = 39.2 מ״ר.
38. 60° — 180-70-50 = 60. (זוויות במשולש + חיסור)
39. 4 — |3-10|=7, |2-5|=3, ולכן 7-3=4.
40. שטח = 154 סמ״ר; היקף = 44 ס״מ — היקף: 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 2 × 22 = 44 ס״מ. שטח: πr² = (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 22 × 7 = 154 סמ״ר.