סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. x = 13 — שלב 1 — כפל ב-12 (מכנה משותף): 4(x + 2) − 3(x − 1) = 24. שלב 2 — פתיחה: 4x + 8 − 3x + 3 = 24, כלומר x + 11 = 24. שלב 3 — פתרון: x = 13.
2. חוצה ציר y ב-(0, 4); f(3) = −2 — חיתוך ציר y: הצב x = 0: f(0) = −2×0 + 4 = 4. נקודת חיתוך: (0, 4). ערך ב-x = 3: f(3) = −2×3 + 4 = −6 + 4 = −2.
3. 18 — הרצף מורכב משתי תת-סדרות לפי מיקומים אי-זוגיים וזוגיים. מיקומים אי-זוגיים (מקום 1,3,5,7,9): 3, 4, 6, 10, ? — ההפרשים הם 1, 2, 4 (כפול 2 בכל פעם), לכן ההפרש הבא הוא 8: 10 + 8 = 18. מיקומים זוגיים (2,4,6,8): 2, 3, 5, 9 — כל אחד הוא המיקום האי-זוגי שלפניו פחות 1. האיבר ה-9 (מיקום אי-זוגי) = 18.
4. 0.7 — P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.5-0.1=0.7.
5. x = −1.5 — חיתוך עם ציר x קורה כש-y = 0: 0 = 2x + 3 2x = −3 x = −1.5.
6. x=±7 — גם 7 וגם -7 בריבוע נותנים 49.
7. x≥6 — 2x≥12, ולכן x≥6.
8. 60 סמ״ר — שלב 1: הגובה חוצה בסיס ל-5 ס״מ. פיתגורס: h²+5²=13² ← h²=169−25=144 ← h=12 ס״מ. שלב 2: שטח=½×10×12=60 סמ״ר.
9. y = 7 — שלב 1 — השווה: 2x + 3 = −x + 9 שלב 2 — 3x = 6 → x = 2. שלב 3 — הצב ב-f: y = 2·2 + 3 = 7.
10. 144 ש"ח — אחרי 20%: 200×0.8=160. אחרי עוד 10%: 160×0.9=144. (אחוזים רצופים + כפל)
11. 5 — (20)·h/2=50, 10h=50, h=5.
12. 0 — -8+3=-5, ואז -5-(-5)=0.
13. 15 — שלב 1 — סך החלקים: 3 + 5 = 8. שלב 2 — ערך חלק יחיד: 40 ÷ 8 = 5. שלב 3 — מספר הבנים: 3 × 5 = 15.
14. 8k — (2k + 1)² − (2k − 1)² = ((2k + 1) + (2k − 1))((2k + 1) − (2k − 1)) = (4k)(2) = 8k. תמיד מתחלק ב-8.
15. 24 — a₁ = 1 − 1 + 1 = 1. a₂ = 4 − 2 + 1 = 3. a₃ = 9 − 3 + 1 = 7. a₄ = 16 − 4 + 1 = 13. סכום: 1 + 3 + 7 + 13 = 24.
16. 42 — 84 = 2² · 3 · 7. 126 = 2 · 3² · 7. GCD = 2 · 3 · 7 = 42.
17. 6.25 יחידות² — מציאת k: 11 = 2(3) + k → 11 = 6 + k → k = 5. הפונקציה: f(x) = 2x + 5. חיתוך ציר y (x = 0): y = 5. נקודה (0, 5). חיתוך ציר x (y = 0): 2x + 5 = 0 → x = −2.5. נקודה (−2.5, 0). שטח = ½ × |−2.5| × |5| = ½ × 2.5 × 5 = 6.25 יחידות².
18. 16 — פתח סוגריים: 2x + 10 = 3x − 6 10 + 6 = 3x − 2x 16 = x. בדיקה: 2(16+5)=2×21=42, 3(16−2)=3×14=42 ✓
19. גבוה ב-3.5% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה של 15%: 100 × 1.15 = 115 ₪. לאחר ירידה של 10%: 115 × 0.9 = 103.5 ₪. שינוי: 103.5 − 100 = +3.5 ₪ → עלייה של 3.5% מהמחיר המקורי.
20. y = 2 — הצב x = 3: 2(3) + 3y = 12 → 6 + 3y = 12. → 3y = 6 → y = 2.
21. 1/36 — 1/6·1/6=1/36.
22. 2,808 ₪ — וֶתֶר: c² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 → c = 17 מ׳. היקף: 8 + 15 + 17 = 40 מ׳. עלות לפני מע״מ: 40 × 60 = 2,400 ₪. כולל 17% מע״מ: 2,400 × 1.17 = 2,808 ₪.
23. 180° — סכום זוויות הפנים במשולש תמיד 180°.
24. 6x+2 — 2x+6+4x-4 = 6x+2.
25. 3n — (n − 1) + n + (n + 1) = 3n, שמתחלק ב-3 לכל n שלם.
26. 3/4 — לאחר שליפת אדום נשארו 4 כדורים: 1 אדום ו-3 כחולים. P(כחול | אדום ראשון) = 3/4.
27. 7 — שלב א׳: (−3) × (−5) = 15 שלב ב׳: (−2) × 4 = −8 שלב ג׳: 15 + (−8) + (−3) = 15 − 8 − 3 = 4? רגע — קריאה מחדש: (−5) × (−3) + (−2) × 4 = 15 − 8 = 7. ✓ (ה'חיברו (−3)' הוא חלק מהתיאור הנסיבתי, לא פעולה נפרדת) כלומר: (−5)×(−3) + (−2)×4 = 15 − 8 = 7.
28. 3 — 8 = 2³, אז 8^(x − 2) = 2^(3(x − 2)) = 2^(3x − 6). מ-2^x = 2^(3x − 6) נובע x = 3x − 6, כלומר 2x = 6, x = 3.
29. x≥-2 — -2x≤4, חלק ב--2 והפוך: x≥-2.
30. 2x+6 — 5x-3x+6 = 2x+6.
31. 3^8 — בחזקה של חזקה - מכפילים מעריכים: 2·4=8.
32. 0 — ישר מקביל לציר x - אין שינוי ב-y, השיפוע 0.
33. 70° כל אחת — 180-40=140 לשתי זוויות הבסיס. כל אחת: 140/2=70. (סכום זוויות + משולש שווה-שוקיים + חלוקה)
34. 1/6 — שלב 1 — סה"כ תוצאות: 6 × 6 = 36. שלב 2 — צמדים עם סכום 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 צמדים. שלב 3 — הסתברות: 6/36 = 1/6.
35. 8 — מספר אמצעי בסדרה ממוינת.
36. 5 — כאשר שני עצמים נעים בכיוונים מנוגדים, המרחק ביניהם גדל בקצב של סכום מהירויותיהם. (5 + 3) × t = 40 → 8t = 40 → t = 5 שעות.
37. מחיר מקורי 150 ₪, חיסכון 60 ₪ — הנחה 40% → הלקוח שילם 60% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.60 × x = 90 → x = 90 ÷ 0.60 = 150 ₪. חיסכון: 150 − 90 = 60 ₪.
38. 100 סמ״ר — אם הצלעות הן a ו-b אז 2(a + b) = 40, כלומר a + b = 20. השטח a · b מקסימלי כאשר a = b = 10 (ריבוע). שטח מקסימלי: 10 · 10 = 100.
39. שתי הפנימיות הלא צמודות — משפט הזווית החיצונית.
40. 5/33 — כדור ראשון אדום: 5/12. אחרי הוצאת אדום נשארו 4 אדומים מתוך 11. כדור שני אדום: 4/11. הסתברות משולבת: 5/12 × 4/11 = 20/132 = 5/33.