סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 6 ימים — סך-העבודה: 4 × 9 = 36 ימי-פועל. עם 6 פועלים: 36 ÷ 6 = 6 ימים. (יחס הפוך: יותר פועלים → פחות ימים).
2. שטח 25, היקף 20 — שטח = 5×5 = 25 סמ"ר. היקף = 4×5 = 20 ס"מ. (גיאומטריה וכפל)
3. 54 סמ"ר — אם רוחב=x, אורך=x+3. 2(x + x+3) = 30 → 4x+6=30 → x=6. רוחב 6, אורך 9. שטח: 6×9=54. (משוואה וגיאומטריה)
4. 18 — בנים: 40% מ-30 = 12. בנות: 30 − 12 = 18. (משלב אחוזים וחיסור)
5. n³ − n = n(n − 1)(n + 1) — מכפלת שלושה מספרים עוקבים — n³ − n = n(n² − 1) = n(n − 1)(n + 1). זוהי מכפלת שלושה עוקבים: בהם בהכרח אחד מתחלק ב-2 ואחד מתחלק ב-3, ולכן המכפלה מתחלקת ב-6.
6. 25% — שלב 1: הפסד 10% → מחיר מכירה=450×0.9=405 ש״ח. שלב 2: ירידה=540−405=135 ש״ח. שלב 3: x=135÷540×100=25%.
7. 60 — מ.מ.כ. × מ.מ.ג. = מכפלת שני המספרים. 180 × 12 = 36 × b → 2160 = 36b → b = 60.
8. 3 — עוברים בפעם ראשונה: ⅝ × 32 = 20. נכשלים: 32 − 20 = 12. עוברים בפעם שנייה: ¾ × 12 = 9. לא עוברים גם בשנייה: 12 − 9 = 3.
9. 3 שעות — קצב א׳: 1/4 עבודה לשעה. קצב ב׳: 1/12 עבודה לשעה. קצב יחד: 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3. זמן יחד: 1 ÷ (1/3) = 3 שעות.
10. חודש 16; 170 ₪ — 500 = 30x + 20 → 30x = 480 → x = 16. בחודש ה-5: y = 30×5 + 20 = 150 + 20 = 170 ₪.
11. 4x^2 — כל האיברים דומים (x^2): 3+2-1=4, ולכן 4x^2.
12. 15 מ׳ — שלב 1 — זהה את המשולש ישר-הזווית: ניצבים 9 ו-12 מ׳, היתר הוא הכבל. שלב 2 — פיתגורס: כבל² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. שלב 3 — כבל = √225 = 15 מ׳.
13. 7-8 — 7^2=49, 8^2=64, ולכן √50 בין 7 ל-8.
14. 95.04 סמ״ר — AMND: AM = 6 סמ (מחצית AB), AD = 12 סמ (צלע הריבוע). שטח מקורי: 6 × 12 = 72 סמ״ר. לאחר הגדלה: אורך × 1.2 = 12 × 1.2 = 14.4 סמ, רוחב × 1.1 = 6 × 1.1 = 6.6 סמ. שטח חדש: 14.4 × 6.6 = 95.04 סמ״ר.
15. 210.60 ₪ — הנחה 25%: 240 × 0.75 = 180 ₪. תוספת מע״מ 17%: 180 × 1.17 = 210.6 ₪.
16. 39.2 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (18 + 10) × 8 = ½ × 28 × 8 = 112 מ״ר. שטח גינה: 0.35 × 112 = 39.2 מ״ר.
17. 136 מ״ר — שטח הגינה (פנימי): 18 × 12 = 216 מ״ר. מידות המלבן החיצוני (כולל שביל): (18 + 4) × (12 + 4) = 22 × 16 = 352 מ״ר. שטח השביל = 352 − 216 = 136 מ״ר.
18. 7.5 — ריבית שנתית: 6% × 4,000 = 240 ₪. ריבית נדרשת: 5,800 − 4,000 = 1,800 ₪. שנים: 1,800 ÷ 240 = 7.5 שנים.
19. 96% — שלב 1 — אחרי העלאה: 1.20 מהמחיר. שלב 2 — אחרי הוזלה ב-20%: 1.20 × 0.80 = 0.96. שלב 3 — לכן המחיר הסופי הוא 96% מהמקורי.
20. 55 מ״ר — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 11 × 5 = 55 מ״ר. (הצלע הצדדית 7 מ׳ אינה הגובה — הגובה הניצב הוא 5 מ׳.)
21. 126 סמ״ר — נסמן רוחב = w, אורך = w + 5. היקף: 2(w + w + 5) = 46 → 2(2w + 5) = 46 → 4w + 10 = 46 → 4w = 36 → w = 9 סמ. אורך = 9 + 5 = 14 סמ. שטח = 9 × 14 = 126 סמ״ר.
22. 96 — 100·1.2=120. 120·0.8=96.
23. 40 — בן=x, אב=5x. בעוד 8: 5x+8 = 3(x+8) ⟹ 5x+8 = 3x+24 ⟹ 2x=16, x=8. אב=5×8=40. בדיקה: 48 = 3×16 ✓. (משוואה + יחסים + הצבה)
24. 17 — (−2)⁴ = 16 (חזקה זוגית → תוצאה חיובית). (−3)² = 9. 2³ = 8. 16 + 9 − 8 = 17.
25. x=5 — 3x+3=2x+8, x=5.
26. 16 שנים — שלב 1 — נסמן את מספר השנים ב-x. בעוד x שנים אבי בן 12+x ואביו בן 40+x. שלב 2 — משוואה: 40 + x = 2(12 + x). שלב 3 — פתיחה: 40 + x = 24 + 2x, ולכן x = 16.
27. 81 ש״ח — שלב 1: אחרי הנחה 25%: 120×0.75=90 ש״ח. שלב 2: אחרי עוד 10%: 90×0.90=81 ש״ח.
28. 8 — פתיחת סוגריים: 6x − 8 ≤ 4x + 8. העברת אגפים: 6x − 4x ≤ 8 + 8. 2x ≤ 16 x ≤ 8. הערך המקסימלי השלם הוא 8.
29. 0.936x — שלב 1 — לאחר הנחה 20%: מחיר = x · 0.8 שלב 2 — לאחר תוספת מע"מ 17%: מחיר = 0.8x · 1.17 = 0.936x לכן הביטוי הפשוט הוא 0.936x.
30. 17 — שיפוע: m = (11 − 3) ÷ (4 − 0) = 8 ÷ 4 = 2. חיתוך ציר y: b = 3 (מהנקודה (0, 3)). משוואה: y = 2x + 3. ב-x = 7: y = 2(7) + 3 = 17.
31. 50.24 סמ"ר — שטח = π×r² = 3.14×16 = 50.24
32. 73 — (−3)⁴ = 81 (חזקה זוגית → חיובי). (−2)³ = −8 (חזקה אי-זוגית → שלילי). 81 + (−8) = 73.
33. 20 — שלב 1 — מספר הבנים: (3/8) × 32 = 12. שלב 2 — מספר הבנות: 32 − 12 = 20.
34. 7 — (4+6+8+10)/4 = 28/4 = 7.
35. 30 מ׳ — נמצא את יתר (צלע שלישית) בעזרת פיתגורס: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 c = √169 = 13 מ׳. היקף: 5 + 12 + 13 = 30 מ׳.
36. 110 שניות — היקף גלגל: C = 2π × 14 = 2 × (22/7) × 14 = 2 × 22 × 2 = 88 סמ. מרחק ל-5 סיבובים: 5 × 88 = 440 סמ. זמן: 440 ÷ 4 = 110 שניות.
37. 10 שעות — שלב 1 — הצב y = 500: 500 = 2000 − 150x שלב 2 — 150x = 1500 שלב 3 — x = 10 שעות.
38. 24 ס"מ — רוחב = 8 ÷ 2 = 4. היקף = 2 × (8 + 4) = 24 ס"מ. (משלב שברים וגיאומטריה)
39. x=9, 2x=18 — 3x − 2x = 4 + 5 → x = 9. 2x = 18. (משוואות וכפל)
40. 110°, שלושים אחוז הם 33° — שלב 1: x+(x+40)=180 ← 2x=140 ← x=70°. הגדולה=70+40=110°. שלב 2: 30%×110=0.3×110=33°.