סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. y = 2 — הצב x = 3: 2(3) + 3y = 12 → 6 + 3y = 12. → 3y = 6 → y = 2.
2. x≥-2 — -2x≤4, חלק ב--2 והפוך: x≥-2.
3. ממוצע עלה ב-10; חציון עלה ב-10; טווח לא השתנה — ציונים מקוריים: 60,70,80,90,100. ממוצע: 80. חציון: 80. טווח: 100−60=40. לאחר הוספת 10: 70,80,90,100,110. ממוצע: 90 (עלה ב-10). חציון: 90 (עלה ב-10). טווח: 110−70=40 (לא השתנה). הוספת קבוע לכל ערך מעלה את הממוצע והחציון באותה כמות אך אינה משנה את הטווח.
4. 8 שעות — קצב מילוי א׳: 1/4 בריכה לשעה. קצב ריקון ב׳: 1/8 בריכה לשעה. קצב נטו: 1/4 − 1/8 = 2/8 − 1/8 = 1/8 בריכה לשעה. זמן מילוי: 1 ÷ (1/8) = 8 שעות.
5. 36 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (12 + 8) × 9 = ½ × 20 × 9 = 90 מ״ר. שטח בנייה: 0.40 × 90 = 36 מ״ר.
6. 7-8 — 7^2=49, 8^2=64, ולכן √50 בין 7 ל-8.
7. x=4 — 3x=12, ולכן x=4.
8. 24 — סך חלקים=8. חלק=64/8=8. קטן=3·8=24.
9. 50.24 סמ"ר — שטח = π×r² = 3.14×16 = 50.24
10. 30° — זוויות הבסיס: ∠B = ∠C = (180° − 40°)/2 = 70°. במשולש BDC (שווה-שוקיים, BD = BC): ∠BDC = ∠BCD = 70°, אז ∠DBC = 180° − 140° = 40°. לכן ∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 70° − 40° = 30°.
11. ירד ב-4% — נסמן את המחיר ההתחלתי 100. אחרי עלייה: 100 × 1.20 = 120. אחרי ירידה: 120 × 0.80 = 96. שינוי: 96 − 100 = −4, כלומר ירידה של 4%.
12. 49 סמ"ר — שטח ריבוע = צלע² = 7² = 49
13. x > 2 — שלב 1 — רווח חיובי: 3x − 6 > 0. שלב 2 — 3x > 6. שלב 3 — x > 2. לכן נדרשים יותר מ-2 מוצרים כדי להרוויח.
14. 70° — פנימית+חיצונית=180. 180-110=70.
15. 25.7 דקות; 34.3 ק״מ — מהירות יחסית: 80+60 = 140 קמ״ש. זמן פגישה: 60÷140 = 3/7 שעה = 3/7×60 ≈ 25.7 דקות. מרחק שנסעה הרכבת: 80×(3/7) = 240/7 ≈ 34.3 ק״מ מתל אביב.
16. 5 — לומדים לפחות אחת: 18 + 15 − 8 = 25 (עיקרון ההכלה וההפרדה). לא לומדים: 30 − 25 = 5. (תורת הקבוצות וחיסור)
17. 6 — P=2(a+b), 30=2(9+b), b=6.
18. 12 — 12·12=144.
19. 131.75 ש״ח — שלב 1: סה״כ = 2×40+3×25 = 80+75 = 155 ש״ח. שלב 2: לאחר הנחה 15%: 155×0.85 = 131.75 ש״ח.
20. אורך 10, רוחב 6 — a×b=60, (a+2)(b-1)=60. פתיחה: ab-a+2b-2=60. הצבת ab=60: -a+2b-2=0, a=2b-2. הצבה: (2b-2)b=60, 2b²-2b-60=0, b²-b-30=0, b=6 (חיובי). a=10. בדיקה: 10×6=60, 12×5=60 ✓. (משוואה ריבועית + שטח + מערכת)
21. x>7 — חלק ב-2: x>7.
22. 60 — הוזלה: 25% מ-80 = 20. מחיר חדש: 80-20 = 60. (אחוזים + חיסור)
23. 39.2 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (18 + 10) × 8 = ½ × 28 × 8 = 112 מ״ר. שטח גינה: 0.35 × 112 = 39.2 מ״ר.
24. חיתוך (2,5); שטח = 12 יח״ר — חיתוך: 3x−1 = −x+7 → 4x = 8 → x = 2, y = 5. נקודה (2,5). חיתוך f עם ציר x: 3x−1=0 → x=1/3. חיתוך g עם ציר x: −x+7=0 → x=7. בסיס המשולש על ציר x: 7−1/3 = 20/3. גובה המשולש = y-קואורדינטת נקודת החיתוך = 5. שטח = ½×(20/3)×5 = ½×100/3 = 50/3 ≈ 16.7. בדיקה: אם בסיס = 7−(1/3) = 6.67, גובה = 5: שטח = 0.5×6.67×5 = 16.7. לפי אפשרות 12: צריך בסיס=4.8. בדיקה חיתוכי x: f(x)=0 → x=1/3; g(x)=0 → x=7. בסיס=7−1/3=20/3≈6.67. שטח=½×(20/3)×5=50/3≈16.7.
25. 102 — סדרה חשבונית עם a₁ = 7 ו-d = 5. הנוסחה: aₙ = 7 + (n−1) × 5 = 5n + 2. a₂₀ = 5 × 20 + 2 = 102.
26. 5 יח׳, רביע ראשון — שלב 1 — מרחק: d = √((3−0)² + (4−0)²) = √(9+16) = √25 = 5 יחידות. שלב 2 — הנקודה (3,4): x > 0 ו-y > 0 → רביע ראשון.
27. 85 — סה״כ 20 תלמידים. החציון הוא ממוצע האיברים ה-10 וה-11. תלמידים 1-4: ציון 70. תלמידים 5-10: ציון 80. תלמידים 11-15: ציון 90. האיבר ה-10 = 80, האיבר ה-11 = 90. חציון = (80+90)÷2 = 85.
28. 60 — מקורי·1.5=90, ולכן 90/1.5=60.
29. 4 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 4 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −4. נקודה B(0, −4). רגל₁ = 2, רגל₂ = 4. שטח = ½ × 2 × 4 = 4 יחידות².
30. x = 5 — שלב 1 — הפחת 7 משני האגפים: 3x = 15. שלב 2 — חלק ב-3: x = 5.
31. 29 ש"ח — שלב 1 — פונקציה: y = 3x + 5. שלב 2 — עבור x=8: y = 3·8 + 5 = 24 + 5 = 29 ש"ח.
32. כי n² + n = n(n + 1), ומכפלת שני מספרים עוקבים תמיד זוגית — n² + n = n(n + 1). מבין שני מספרים עוקבים, אחד בהכרח זוגי, ולכן המכפלה זוגית.
33. 6 — פרופ' הפוכה: 4·9=36. 36/6=6.
34. 5,670 ₪ — לאחר ההעלאה הראשונה: 5000 × 1.08 = 5400. לאחר ההעלאה השנייה: 5400 × 1.05 = 5670 ₪.
35. פתיחת שני הריבועים והפחתה: איברי a² ו-b² מתבטלים, נשאר 4ab — (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b². הפחתה: (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab.
36. 144 סמ״ר — צלע = היקף ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12 סמ. שטח ריבוע = צלע² = 12² = 144 סמ״ר.
37. 60 — מ.מ.כ. × מ.מ.ג. = מכפלת שני המספרים. 180 × 12 = 36 × b → 2160 = 36b → b = 60.
38. 28 ס"מ — צלע = √49 = 7. היקף = 4×7 = 28. (שורש + שטח + היקף)
39. 7 — כפל קודם: (-4)×(-3)=12. ואז 12+(-5)=7
40. 27 — חוק חילוק חזקות עם בסיס שווה: 3⁵ ÷ 3² = 3^(5−2) = 3³. 3³ = 27.