סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 2/5 — 4/10 = 2/5.
2. 3 שעות ו-26 דקות — ברז A ממלא ⅙ לשעה; ברז B ממלא ⅛ לשעה. יחד: ⅙ + ⅛ = 4/24 + 3/24 = 7/24 לשעה. זמן מילוי: 1 ÷ (7/24) = 24/7 ≈ 3.43 שעות. 0.43 × 60 ≈ 26 דקות. סה״כ: כ-3 שעות ו-26 דקות.
3. 16 — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 8 = 0 → x = 4. חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −8. המשולש הוא ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8. שטח = ½ × 4 × 8 = 16.
4. 6 — פרופ' הפוכה: 4·9=36. 36/6=6.
5. 29.44 מ״ר — שטח חדר L: 8×6 − 2×3 = 48 − 6 = 42 מ״ר. רדיוס שטיח: 4÷2 = 2 מ׳. שטח שטיח: π×r² = 3.14×4 = 12.56 מ״ר. שטח רצפה ללא שטיח: 42 − 12.56 = 29.44 מ״ר.
6. −8 — מציבים x = −3: (−3)² + 4×(−3) − 5 = 9 + (−12) − 5 = 9 − 12 − 5 = −8.
7. 8, ריבועו 64 — שלב 1: 4x−7=25 ← 4x=32 ← x=8. שלב 2: 8²=64.
8. 8 שעות — קצב מילוי א׳: 1/4 בריכה לשעה. קצב ריקון ב׳: 1/8 בריכה לשעה. קצב נטו: 1/4 − 1/8 = 2/8 − 1/8 = 1/8 בריכה לשעה. זמן מילוי: 1 ÷ (1/8) = 8 שעות.
9. 27 — חוק חילוק חזקות עם בסיס שווה: 3⁵ ÷ 3² = 3^(5−2) = 3³. 3³ = 27.
10. 131.75 ש״ח — שלב 1: סה״כ = 2×40+3×25 = 80+75 = 155 ש״ח. שלב 2: לאחר הנחה 15%: 155×0.85 = 131.75 ש״ח.
11. a^6 — בסוגריים a^(4-1)=a^3, ובחזקת 2: a^(3·2)=a^6.
12. 102 — סדרה חשבונית עם a₁ = 7 ו-d = 5. הנוסחה: aₙ = 7 + (n−1) × 5 = 5n + 2. a₂₀ = 5 × 20 + 2 = 102.
13. 8 מ׳ — שטח משולש = ½ × בסיס × גובה. 60 = ½ × 15 × גובה 60 = 7.5 × גובה גובה = 60 ÷ 7.5 = 8 מ׳.
14. −67 — (−3)² = 9. (−2)³ = −8. (−1)⁴ = 1. 9 × (−8) + 1 × 5 = −72 + 5 = −67.
15. 1,122 ₪ — אחרי הנחה של 15%: 1,200 × 0.85 = 1,020 ₪. אחרי עלייה של 10%: 1,020 × 1.10 = 1,122 ₪.
16. 40 סמ"ר — רוחב=x, אורך=x+3. 2(2x+3)=26, 2x+3=13, x=5. אורך=8. שטח=5×8=40. (משוואה + היקף + שטח)
17. 60 — מקורי·1.5=90, ולכן 90/1.5=60.
18. x=±7 — גם 7 וגם -7 בריבוע נותנים 49.
19. 60 ₪ — שלב 1 — חישוב ההנחה: 25% × 80 = 20 ₪. שלב 2 — המחיר החדש: 80 − 20 = 60 ₪.
20. 80% — שלב 1 — סה"כ כדורים: 5 + 3 + 2 = 10. שלב 2 — כדורים לא ירוקים: 5 + 3 = 8. שלב 3 — הסתברות: 8/10 = 0.8 = 80%.
21. 70° — סכום זוויות = 180°. שתי זוויות הבסיס שוות: (180 − 40) ÷ 2 = 70°. (גיאומטריה וחלוקה)
22. 70° — פנימית+חיצונית=180. 180-110=70.
23. −2x + 7 — איסוף איברים דומים: מקדמי x: 3 − 1 − 4 = −2. מספרים חופשיים: 5 + 2 = 7. תוצאה: −2x + 7.
24. 31.4 — P=2πr=2·3.14·5=31.4.
25. 32 — S=(a+b)·h/2=(6+10)·4/2=32.
26. 2 כוסות; 54 ₪ — נקודת איזון: 3x − 6 = 0 → 3x = 6 → x = 2. רווח אחרי 20 כוסות: y = 3×20 − 6 = 60 − 6 = 54 ₪.
27. P(A)+P(B) — במאורעות זרים מחברים את ההסתברויות.
28. 6 — לפי עקרון ההכלה וההדחה: |A ∪ B| = 18 + 14 − 8 = 24 תלמידים לומדים לפחות שפה אחת. לא לומדים אף שפה: 30 − 24 = 6.
29. 70° — סכום = 180°: (x+30) + (2x+10) + (3x−40) = 180 → 6x = 180 → x = 30. A = 60°, B = 70°, C = 50°. הגדולה ביותר: B = 70°.
30. 1/3 — סה״כ כדורים: 3 + 4 + 2 = 9. כדורים אדומים: 3. סיכוי: 3/9 = 1/3.
31. 0 — -8+3=-5, ואז -5-(-5)=0.
32. 1/3 — סיכוי לכחול ראשון: 6/10. נשארים 9 כדורים, מהם 5 כחולים. סיכוי לכחול שני: 5/9. סיכוי כולל: (6/10) × (5/9) = 30/90 = 1/3.
33. 4 — (2³)² = 2^(3·2) = 2⁶. 2⁶ × 2⁻⁴ = 2^(6−4) = 2² = 4.
34. 73 — (−3)⁴ = 81 (חזקה זוגית → חיובי). (−2)³ = −8 (חזקה אי-זוגית → שלילי). 81 + (−8) = 73.
35. 27.5 ש"ח — מחברת=x, ספר=2x. 3(2x)+2x=110, 6x+2x=8x=110, x=13.75. ספר=27.5
36. y = 2 — הצב x = 3: 2(3) + 3y = 12 → 6 + 3y = 12. → 3y = 6 → y = 2.
37. x=4 — 3x=12, ולכן x=4.
38. 160 סמ״ר — נסמן רוחב = x, אורך = x + 12. היקף: 2(x + x + 12) = 56 → 4x + 24 = 56 → 4x = 32 → x = 8. רוחב = 8 סמ, אורך = 20 סמ. שטח = 8 × 20 = 160 סמ״ר.
39. כי n² + n = n(n + 1), ומכפלת שני מספרים עוקבים תמיד זוגית — n² + n = n(n + 1). מבין שני מספרים עוקבים, אחד בהכרח זוגי, ולכן המכפלה זוגית.
40. 25 סמ״ר — בסיס המשולש = קוטר = 2 × 5 = 10 סמ. גובה המשולש = רדיוס = 5 סמ. שטח = ½ × 10 × 5 = 25 סמ״ר.