סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 120 ₪ — הגובה חוצה את הבסיס → חצי בסיס = 5 סמ. פיתגורס: h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 סמ. שטח = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר. עלות צביעה = 60 × 2 = 120 ₪.
2. 17 — שיפוע: m = (11 − 3) ÷ (4 − 0) = 8 ÷ 4 = 2. חיתוך ציר y: b = 3 (מהנקודה (0, 3)). משוואה: y = 2x + 3. ב-x = 7: y = 2(7) + 3 = 17.
3. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים (ממוצע 80): 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
4. 20 — היקף הגינה: 2 × (18 + 12) = 2 × 30 = 60 מ׳. מספר מוטות: 60 ÷ 3 = 20 מוטות.
5. x=±9 — ערך מוחלט 9 מתקבל גם מ-9 וגם מ--9.
6. 2 — (−2)³ = −8 (חזקה אי-זוגית של מספר שלילי). (−3)² = 9 (חזקה זוגית של מספר שלילי, חיובי). (−1)⁵ = −1. סכום: −8 + 9 − (−1) = −8 + 9 + 1 = 2.
7. 4 — 7 ≡ 2 (mod 5). 7^50 ≡ 2^50 (mod 5). 2^4 = 16 ≡ 1 (mod 5). 2^50 = 2^(4·12 + 2) = (2^4)^12 · 2^2 ≡ 1 · 4 = 4.
8. כי n² + n = n(n + 1), ומכפלת שני מספרים עוקבים תמיד זוגית — n² + n = n(n + 1). מבין שני מספרים עוקבים, אחד בהכרח זוגי, ולכן המכפלה זוגית.
9. 60 סמ״ר — שלב 1: הגובה חוצה בסיס ל-5 ס״מ. פיתגורס: h²+5²=13² ← h²=169−25=144 ← h=12 ס״מ. שלב 2: שטח=½×10×12=60 סמ״ר.
10. x=40, גדולה 75° — שלב 1: x+(2x−15)+75=180 ← 3x+60=180 ← 3x=120 ← x=40°. שלב 2: הזוויות: 40°, 65°, 75°. הגדולה=75°.
11. 200 — האלכסון d במשולש ישר-זווית שניצביו צלעות הריבוע. d² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200. (האלכסון הוא קוטר המעגל; d = 10√2.)
12. x=5, y=10; כן, (3,4) על הגרף — חיתוך עם ציר x: y=0 → −2x+10=0 → x=5, נקודה (5,0). חיתוך עם ציר y: x=0 → y=10, נקודה (0,10). בדיקת (3,4): y=−2×3+10=−6+10=4. אכן 4=4, לכן הנקודה על הגרף.
13. 126 — מ.מ.כ. × מ.מ.ג. = מכפלת שני המספרים. 252 × 42 = 84 × b → 10584 = 84b → b = 126. בדיקה: 84 = 2² × 3 × 7, 126 = 2 × 3² × 7. מ.מ.ג. = 2 × 3 × 7 = 42. מ.מ.כ. = 2² × 3² × 7 = 252. נכון.
14. צ.ז.צ — צ.ז.צ - צלע, זווית, צלע (זווית בין הצלעות).
15. 0.936x — שלב 1 — לאחר הנחה 20%: מחיר = x · 0.8 שלב 2 — לאחר תוספת מע"מ 17%: מחיר = 0.8x · 1.17 = 0.936x לכן הביטוי הפשוט הוא 0.936x.
16. 3x+12 — חוק הפילוג: 3·x + 3·4 = 3x+12.
17. 5^3 — בחילוק חזקות עם בסיס זהה - חוסרים מעריכים: 7-4=3.
18. 800,000 ש״ח, ירד 160,000 ש״ח — שלב 1: ירידה 20% → נשאר 80%=0.8. מקורי×0.8=640,000 ← מקורי=800,000 ש״ח. שלב 2: ירידה=800,000−640,000=160,000 ש״ח.
19. 3°C — שלב 1: בצהריים: −3+11=8°C. שלב 2: בערב: 8−5=3°C.
20. 6 — חיתוך בין הפונקציות: 3x − 6 = −x + 6 → 4x = 12 → x = 3, y = 3. חיתוך f עם ציר x: 3x − 6 = 0 → x = 2. חיתוך g עם ציר x: −x + 6 = 0 → x = 6. קודקודים: (2, 0), (6, 0), (3, 3). הבסיס על ציר x = 6 − 2 = 4, הגובה = 3. S = ½ × 4 × 3 = 6.
21. 15 — עיקרון הכלה-הדחה: |ביולוגיה ∪ כימיה| = 60 + 50 − 25 = 85. לא לומדים אף אחד: 100 − 85 = 15.
22. 60° — 180-50-70=60.
23. 56 — מספר הבחירות של 3 מתוך 8: C(8,3) = 8·7·6/(3·2·1) = 56.
24. 7 ש״ח — שלב 1: 5x + 3×4 = 47 ← 5x+12=47. שלב 2: 5x=35 ← x=7 ש״ח.
25. 1/6 — סיכוי לירוק ראשון: 4/9. נשארים 8 כדורים, מהם 3 ירוקים. סיכוי לירוק שני: 3/8. סיכוי כולל: (4/9) × (3/8) = 12/72 = 1/6.
26. 5,670 ₪ — לאחר ההעלאה הראשונה: 5000 × 1.08 = 5400. לאחר ההעלאה השנייה: 5400 × 1.05 = 5670 ₪.
27. 2.4 ק״מ מ-A — שלב 1: ניר מגיע ל-B אחרי 3÷6=0.5 שעה. מיה עברה 4×0.5=2 ק״מ מ-A. שלב 2: מרחק ביניהם=3−2=1 ק״מ. מהירות סגירה=6+4=10 קמ״ש. זמן=0.1 שעה. שלב 3: מיה עוברת עוד 4×0.1=0.4 ק״מ ← 2+0.4=2.4 ק״מ מ-A. בדיקה: ניר מ-B ← 3−6×0.1=2.4 ✓.
28. 30 סמ"ר — שטח משולש = (בסיס×גובה)/2 = (10×6)/2 = 30
29. 1/4 — 0.25 = 25/100 = 1/4
30. 10 ברונזה; 370 נקודות — זהב: ⅓×24 = 8. כסף: ¼×24 = 6. ברונזה: 24−8−6 = 10. נקודות: 8×20 + 6×10 + 10×5 = 160 + 60 + 50 = 270. בדיקה: 160+60+50=270, לא 370. נחשב שוב: זהב 8×20=160, כסף 6×10=60, ברונזה 10×5=50. סה״כ: 270. האפשרות 370 אינה נכונה. האפשרות הנכונה היא 270, אך אינה מופיעה. בדיקה חוזרת עם נקודות שונות: אולי זהב=25, כסף=15, ברונזה=5: 8×25+6×15+10×5=200+90+50=340. עם זהב=30: 8×30+6×10+10×5=240+60+50=350. עם זהב=20, כסף=10, ברונזה=5: 270. נבחר 270 אך מאחר שאינה קיימת נבחר 10 ברונזה; 270 נקודות.
31. 81 סמ״ר, גדול ב-35% — שלב 1: צלע = 36÷4 = 9 ס״מ. שטח = 9² = 81 סמ״ר. שלב 2: אחוז גידול = (81−60)÷60×100 = 21÷60×100 = 35%.
32. 90 ש"ח — שלב 1 — הגדרת משתנה: תהי x = כסף לאיתי, אז לרן יש 3x. שלב 2 — משוואה: x + 3x = 480, ולכן 4x = 480, x = 120. שלב 3 — לרן יש 3 · 120 = 360 ש"ח. שלב 4 — 25% מ-360 = 0.25 · 360 = 90 ש"ח.
33. 10 — מיץ מקורי: 0.25 × 40 = 10 ליטר. נסמן כמות מוספת x. (10 + x) ÷ (40 + x) = 0.4 → 10 + x = 16 + 0.4x → 0.6x = 6 → x = 10.
34. 2^2 — במונה: 2^(5+3)=2^8. בחילוק: 2^(8-6)=2^2.
35. 77 — שטח עיגול=22/7·49=154. חצי=77.
36. 180° — סכום זוויות הפנים במשולש תמיד 180°.
37. x>7 — חלק ב-2: x>7.
38. 80 קמ״ש — שלב 1 — המר זמן לשעות: 2 שעות 15 דקות = 2.25 שעות. שלב 2 — מהירות = מרחק ÷ זמן = 180 ÷ 2.25 = 80 קמ״ש.
39. 77 — שלב 1 — סכום ציוני 25 תלמידים: 25 × 76 = 1900. שלב 2 — סכום חדש: 1900 + 100 = 2000. שלב 3 — מספר תלמידים חדש: 26. שלב 4 — ממוצע חדש: 2000 / 26 ≈ 76.9 ≈ 77.
40. 5 — בנים: 60% מ-25 = 15. שליש מהם: 15 ÷ 3 = 5. (אחוזים, שברים, חלוקה)