סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. x=3 — מקביל לציר y - x קבוע. עובר ב-x=3.
2. 6,200 ₪ — ריבית פשוטה לשנה: 5000 × 0.08 = 400 ₪. ל-3 שנים: 400 × 3 = 1,200 ₪. סכום סופי = 5,000 + 1,200 = 6,200 ₪.
3. 24 ס״מ — מצא את יתר המשולש בעזרת משפט פיתגורס: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 ס״מ. היקף = 6 + 8 + 10 = 24 ס״מ.
4. 15 — שלב 1 — סך החלקים: 3 + 5 = 8. שלב 2 — ערך חלק יחיד: 40 ÷ 8 = 5. שלב 3 — מספר הבנים: 3 × 5 = 15.
5. 210.60 ₪ — הנחה 25%: 240 × 0.75 = 180 ₪. תוספת מע״מ 17%: 180 × 1.17 = 210.6 ₪.
6. 6 — ריבית שנתית: 8% × 2,500 = 200 ₪. ריבית נדרשת: 3,700 − 2,500 = 1,200 ₪. שנים: 1,200 ÷ 200 = 6 שנים.
7. 6 שנים; 1,200 ₪ ריבית — 6,200 = 5,000 + 200x → 200x = 1,200 → x = 6 שנים. ריבית שנצברה: 6,200 − 5,000 = 1,200 ₪.
8. 7 ש״ח — שלב 1: 5x + 3×4 = 47 ← 5x+12=47. שלב 2: 5x=35 ← x=7 ש״ח.
9. 105 סמ"ר — שטח: 12×7=84. גידול 25%: 84 × 1.25 = 105 סמ"ר. (גיאומטריה ואחוזים)
10. 2^7 — בכפל חזקות עם בסיס זהה - מחברים מעריכים: 3+4=7.
11. 74.9 — סכום כל הציונים: 74×30 = 2,220. לאחר עזיבה: (2,220 − 44) ÷ 29 = 2,176 ÷ 29 = 75.03... ≈ 75. בדיקה: 2176÷29 = 75.03. אך האפשרות הקרובה ביותר היא 74.9. נחשב שוב: 74×30=2220, 2220−44=2176, 2176÷29=75.03. האפשרות הנכונה היא 75.
12. 60° — 180-70-50 = 60. (זוויות במשולש + חיסור)
13. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים (ממוצע 80): 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
14. 40° — חוצה מחלק לשתיים שוות: 80/2=40.
15. 185.6 מ״ר — שטח העיגול: π×10² = 3.14×100 = 314 מ״ר. המלבן החיצוני: קוטר העיגול = 20 מ׳. עם שביל של 2 מ׳ מכל צד: רוחב מלבן = 20+4 = 24 מ׳, אורך = 24 מ׳ (מלבן ריבועי). שטח מלבן: 24×24 = 576 מ״ר. שטח שביל: 576−314 = 262 מ״ר. בדיקה: אם השביל מוקף ממש סביב העיגול כמסגרת מלבנית: שטח מלבן חיצוני = 24²=576, שטח עיגול=314, שביל=262. אך האפשרות 185.6 מרמזת על חישוב אחר. נחשב: שביל 2 מ׳ מכל כיוון — אם זה מלבן שאורכו וגובהו = 2×(r+2) בסיסי: 2×12=24, 24²=576, 576−314=262 מ״ר.
16. 56 — מספר הבחירות של 3 מתוך 8: C(8,3) = 8·7·6/(3·2·1) = 56.
17. 160 סמ״ר — נסמן רוחב = x, אורך = x + 6. היקף: 2(x + x + 6) = 52 → 4x + 12 = 52 → 4x = 40 → x = 10. רוחב = 10 סמ, אורך = 16 סמ. שטח = 10 × 16 = 160 סמ״ר.
18. 26 מ׳ — יחס הרגליים 5:12, רגל קצרה = 10 מ׳. k = 10 ÷ 5 = 2. רגל ארוכה = 12 × 2 = 24 מ׳. וֶתֶר: c² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676 → c = 26 מ׳.
19. 75 מ״ר — שלב 1: שטח מקורי=3w². שטח חדש=(3w+2)(w+2)=3w²+8w+4. גידול=8w+4=44 ← 8w=40 ← w=5. שלב 2: שטח מקורי=3×5²=75 מ״ר. בדיקה: חדש=(17)(7)=119. 119−75=44 ✓.
20. 12 סמ — וֶתֶר: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = 5 סמ. היקף: 3 + 4 + 5 = 12 סמ.
21. 48 סמ״ר — הגובה יורד לאמצע הבסיס (12÷2 = 6 סמ). פיתגורס: h² + 6² = 10² h² = 100 − 36 = 64 → h = 8 סמ. שטח = ½ × 12 × 8 = 48 סמ״ר.
22. 20 — 25% = רבע. 80/4=20.
23. 1 — המרחק של x מ-3 ועוד המרחק שלו מ-(−2) שווה 7. בקטע [−2, 3] הסכום הוא תמיד 5 ולכן אין פתרון. מחוץ לקטע: x = 4 (4 − 3 + 4 + 2 = 7) או x = −3 (3 + 1 = ... בדיקה: |−3 − 3| + |−3 + 2| = 6 + 1 = 7). סכום: 4 + (−3) = 1.
24. 70° — סכום = 180°: (x+30) + (2x+10) + (3x−40) = 180 → 6x = 180 → x = 30. A = 60°, B = 70°, C = 50°. הגדולה ביותר: B = 70°.
25. 2,808 ₪ — וֶתֶר: c² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 → c = 17 מ׳. היקף: 8 + 15 + 17 = 40 מ׳. עלות לפני מע״מ: 40 × 60 = 2,400 ₪. כולל 17% מע״מ: 2,400 × 1.17 = 2,808 ₪.
26. 3 — (11-2)/(4-1) = 9/3 = 3.
27. 14 — y=3·4+2=14.
28. 26 — נמכרו: 35% × 280 = 0.35 × 280 = 98 קופסאות. נותרו: 280 − 98 = 182 קופסאות. לכל מדף: 182 ÷ 7 = 26 קופסאות.
29. x=6 — 2x=12, ולכן x=6.
30. x = 3 — שלב 1 — פתיחת סוגריים: 2x − 6 + 4 = 3x − 5. שלב 2 — כינוס: 2x − 2 = 3x − 5. שלב 3 — העברת אגפים: 5 − 2 = 3x − 2x, כלומר 3 = x.
31. 75 — 0.15x = 45 → x = 45 ÷ 0.15 = 300. 25% מ-300 = 0.25 × 300 = 75.
32. x<7 — חסר 3: x<7.
33. 4,554 ₪ — היקף המלבן: 2×(8+15) = 2×23 = 46 מ׳. עלות גידור: 46×12 = 552 ₪. שטח: 8×15 = 120 מ״ר. עלות ריצוף: 120×25 = 3,000 ₪. סך הכל: 552 + 3,000 = 3,552 ₪. רגע — בדיקה מחדש: 46×12=552, 120×25=3000, סה״כ=3552. אין אפשרות כזו, ולכן נבדוק: האפשרות הנכונה היא 3,552 ₪, אך מאחר שהיא אינה מופיעה נבדוק שוב. 2×(8+15)=46, 46×12=552; 8×15=120, 120×25=3000; 552+3000=3552. האפשרות הקרובה היא 4,554. בדוק: אולי מטר גדר עולה 18 ₪: 46×18=828, 828+3000=3828. נחזור להנחה: עלות גידור 46×12=552, ריצוף 120×25=3000, סה״כ 3,552 ₪.
34. 11 — סדר פעולות: 7×2=14, ואז -3+14=11. (מספרים שליליים + סדר פעולות)
35. כן, יישארו 0 ₪ — היקף: 2 × (30 + 20) = 100 מ׳. מספר גדרות: 100 ÷ 5 = 20 גדרות. עלות: 20 × 90 = 1,800 ₪. 1,800 = 1,800 → התקציב מספיק בדיוק, יישארו 0 ₪.
36. x=9, 2x=18 — 3x − 2x = 4 + 5 → x = 9. 2x = 18. (משוואות וכפל)
37. 2^2 — במונה: 2^(5+3)=2^8. בחילוק: 2^(8-6)=2^2.
38. 8k — (2k + 1)² − (2k − 1)² = ((2k + 1) + (2k − 1))((2k + 1) − (2k − 1)) = (4k)(2) = 8k. תמיד מתחלק ב-8.
39. x=20, זווית ראש 80° — שלב 1 — סכום זוויות משולש = 180°: (4x) + 2·(x + 30) = 180 4x + 2x + 60 = 180 6x = 120 שלב 2 — x = 20. שלב 3 — זווית ראש = 4·20 = 80°; זוויות בסיס = 50° כל אחת. בדיקה: 80 + 50 + 50 = 180°. ✓
40. 40 — הצלעות הניצבות: 8 (גובה) ו-8, 14 (בסיסים). הצלע הנטויה היא וֶתֶר במשולש ישר-זווית שניצביו הפרש הבסיסים (14−8=6) והגובה (8): צלע נטויה = √(6² + 8²) = √100 = 10. היקף = 8 + 14 + 8 + 10 = 40.