סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 60 סמ״ר — שורטט גובה מהקודקוד אל הבסיס — הוא חוצה את הבסיס ל-5 ס״מ + 5 ס״מ. משפט פיתגורס על חצי המשולש: h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → h = 12 ס״מ. שטח = ½ × בסיס × גובה = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
2. 1/4 — 0.25 = 25/100 = 1/4
3. כן — 25+144=169=13^2, מקיים פיתגורס.
4. 95 — סכום 4 ציונים: 4 × 85 = 340. סכום נדרש ל-5 ציונים עם ממוצע 87: 5 × 87 = 435. ציון חמישי: 435 − 340 = 95.
5. 60 סמ״ר — הגובה לבסיס חוצה אותו לשני חצאים בני 5 סמ. h² + 5² = 13² → h² = 144 → h = 12. S = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
6. 9 — 9·9=81, ולכן √81=9.
7. 77 — סכום 6 הציונים = 6 × 80 = 480. ללא הציון 95: 480 − 95 = 385. ממוצע 5 הציונים = 385 ÷ 5 = 77.
8. 9 — √25=5, √16=4, ולכן 5+4=9.
9. −2x + 7 — איסוף איברים דומים: מקדמי x: 3 − 1 − 4 = −2. מספרים חופשיים: 5 + 2 = 7. תוצאה: −2x + 7.
10. 50.24 סמ"ר — שטח = π×r² = 3.14×16 = 50.24
11. x=6 — 2x=12, ולכן x=6.
12. 126 — מ.מ.כ. × מ.מ.ג. = מכפלת שני המספרים. 252 × 42 = 84 × b → 10584 = 84b → b = 126. בדיקה: 84 = 2² × 3 × 7, 126 = 2 × 3² × 7. מ.מ.ג. = 2 × 3 × 7 = 42. מ.מ.כ. = 2² × 3² × 7 = 252. נכון.
13. 88 — סכום 5 ציונים: 5 × 84 = 420. סכום 4 הציונים הנותרים: 420 − 68 = 352. ממוצע חדש: 352 ÷ 4 = 88.
14. x=±7 — גם 7 וגם -7 בריבוע נותנים 49.
15. 12 מ׳ — הסולם, הקיר והקרקע יוצרים משולש ישר-זווית. הסולם הוא הוֶתֶר. h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 מ׳.
16. 36 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 12 = 0 → x = 6. נקודה A(6, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −12. נקודה B(0, −12). רגל₁ = 6 (לאורך ציר x), רגל₂ = 12 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 6 × 12 = 36 יחידות².
17. x=40, גדולה 75° — שלב 1: x+(2x−15)+75=180 ← 3x+60=180 ← 3x=120 ← x=40°. שלב 2: הזוויות: 40°, 65°, 75°. הגדולה=75°.
18. 13 — שיפוע: m = (9 − 1) ÷ (3 − (−1)) = 8 ÷ 4 = 2. חיתוך ציר y (b): משתמשים ב-(−1, 1): 1 = 2(−1) + b → b = 3. משוואה: y = 2x + 3. ב-x = 5: y = 2(5) + 3 = 13.
19. 4 — 2³ = 8, 3² = 9, 1² = 1. 8 + 9 − 1 = 16. √16 = 4.
20. 16 — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 8 = 0 → x = 4. חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −8. המשולש הוא ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8. שטח = ½ × 4 × 8 = 16.
21. 4 — בצורה y=mx+b, m הוא השיפוע - כאן 4.
22. 8 — פתיחת סוגריים: 6x − 8 ≤ 4x + 8. העברת אגפים: 6x − 4x ≤ 8 + 8. 2x ≤ 16 x ≤ 8. הערך המקסימלי השלם הוא 8.
23. 4x − 2 — שלב 1 — פתיחת סוגריים ראשונה: 6x − 12. שלב 2 — פתיחת סוגריים שנייה: −2x + 10. שלב 3 — כינוס: 6x − 2x = 4x, ו-(−12) + 10 = −2. התוצאה: 4x − 2.
24. 96% — שלב 1 — אחרי העלאה: 1.20 מהמחיר. שלב 2 — אחרי הוזלה ב-20%: 1.20 × 0.80 = 0.96. שלב 3 — לכן המחיר הסופי הוא 96% מהמקורי.
25. −8 — מציבים x = −3: (−3)² + 4×(−3) − 5 = 9 + (−12) − 5 = 9 − 12 − 5 = −8.
26. −67 — (−3)² = 9. (−2)³ = −8. (−1)⁴ = 1. 9 × (−8) + 1 × 5 = −72 + 5 = −67.
27. x > 2 — שלב 1 — רווח חיובי: 3x − 6 > 0. שלב 2 — 3x > 6. שלב 3 — x > 2. לכן נדרשים יותר מ-2 מוצרים כדי להרוויח.
28. x=±9 — ערך מוחלט 9 מתקבל גם מ-9 וגם מ--9.
29. 2.5 — ממוצע: (68 + 72 + 80 + 85 + 85 + 90) ÷ 6 = 480 ÷ 6 = 80. סדר עולה: 68, 72, 80, 85, 85, 90. חציון = (80 + 85) ÷ 2 = 82.5. הפרש: 82.5 − 80 = 2.5.
30. 3 — 6◆2 = (6+2)÷(6−2) = 8÷4 = 2. לאחר מכן: 2◆1 = (2+1)÷(2−1) = 3÷1 = 3.
31. 25.7 דקות; 34.3 ק״מ — מהירות יחסית: 80+60 = 140 קמ״ש. זמן פגישה: 60÷140 = 3/7 שעה = 3/7×60 ≈ 25.7 דקות. מרחק שנסעה הרכבת: 80×(3/7) = 240/7 ≈ 34.3 ק״מ מתל אביב.
32. 5 — ממוצע של שני האמצעיים: (4+6)/2=5.
33. שיפוע 3, חיתוך ציר y: −1 — הפונקציה בצורה y = mx + b. m (שיפוע) = 3. b (חיתוך ציר y) = −1. בדיקה: כש-x = 0 → y = 3(0) − 1 = −1. ✓
34. −68 — (−2)³ = −8. 3² = 9. (−1)⁵ = −1. (−8) × 9 − (−1) × 4 = −72 − (−4) = −72 + 4 = −68.
35. 0 — ישר מקביל לציר x - אין שינוי ב-y, השיפוע 0.
36. (0,5) — ב-x=0: y=5.
37. x ≤ 1 — 5 − 2(x + 1) ≥ 1 → 5 − 2x − 2 ≥ 1 → 3 − 2x ≥ 1 → −2x ≥ −2 → x ≤ 1 (חלוקה במינוס הופכת כיוון).
38. 20 — 25% = 1/4, ו-80/4 = 20
39. 7 — שלב 1 — הכנסה: R(x) = 80x. שלב 2 — לא להפסיד: R(x) ≥ C(x) → 80x ≥ 50x + 200. שלב 3 — 30x ≥ 200 → x ≥ 200/30 = 6.̄6. שלב 4 — מינימום יחידות שלמות: x = 7.
40. 300 — נסמן את סך הכרטיסים כ-x. 80% מ-x = 240: 0.8x = 240 x = 240 ÷ 0.8 = 300 כרטיסים.