סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 8√2 סמ — שטח = 64 → צלע = √64 = 8 סמ. באלכסון של ריבוע משתמשים בפיתגורס: d² = 8² + 8² = 128. d = √128 = 8√2 סמ.
2. 102 — סדרה חשבונית עם a₁ = 7 ו-d = 5. הנוסחה: aₙ = 7 + (n−1) × 5 = 5n + 2. a₂₀ = 5 × 20 + 2 = 102.
3. פתיחת שני הריבועים והפחתה: איברי a² ו-b² מתבטלים, נשאר 4ab — (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b². הפחתה: (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab.
4. 1 — כל מספר (שונה מאפס) בחזקת אפס שווה 1.
5. 2^2 — במונה: 2^(5+3)=2^8. בחילוק: 2^(8-6)=2^2.
6. 5^3 — בחילוק חזקות עם בסיס זהה - חוסרים מעריכים: 7-4=3.
7. 5 — (20)·h/2=50, 10h=50, h=5.
8. ברי — דן בעמדה 2 → גל בעמדה 3. אך גל אינו יכול להיות בעמדה 3 — סתירה! לכן דן אינו בעמדה 2. אבל השאלה אומרת 'אם דן בעמדה 2'. למעשה — נוסח מחדש: גל ממש אחרי דן ודן בעמדה 2 → גל בעמדה 3, אך זה סותר 'גל אינו בעמדה 3'. לכן ניתן להסיק שהנחת השאלה גורמת לסתירה והסידור האפשרי הוא: אבי-ברי ב-4,5 עם דן בעמדה אחרת. נשנה: דן בעמדה 1 → גל בעמדה 2. אבי-ברי: שני מיקומים עוקבים מתוך 3,4,5. הלל בנותר. אם אבי-ברי ב-4,5: הלל ב-3. עמדה 5 = ברי.
9. 100 קמ"ש — שלב 1 — מרחק A: 2 · 2x = 4x ק"מ. שלב 2 — מרחק B: 2 · (x + 30) = 2x + 60 ק"מ. שלב 3 — משוואה: 4x − (2x + 60) = 40 4x − 2x − 60 = 40 2x = 100 x = 50. שלב 4 — מהירות A = 2x = 100 קמ"ש.
10. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים עם ממוצע 80: 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
11. 20 — מחיר עפרון: 12/3=4. 5·4=20.
12. 2 כוסות; 54 ₪ — נקודת איזון: 3x − 6 = 0 → 3x = 6 → x = 2. רווח אחרי 20 כוסות: y = 3×20 − 6 = 60 − 6 = 54 ₪.
13. x=5 — 3x+3=2x+8, x=5.
14. 8 — ממוצע 5 תלמידים: (12+15+18+11+14) ÷ 5 = 70 ÷ 5 = 14. סכום נדרש ל-6 תלמידים עם ממוצע 13: 13 × 6 = 78. ציון התלמיד השישי: 78 − 70 = 8.
15. 4.8 ס״מ — יתר: √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10 ס״מ. גובה על היתר: h = (6×8)/10 = 48/10 = 4.8 ס״מ.
16. x=3 — 0=4x-12, 4x=12, x=3.
17. 400 — 240/3=80 קמ"ש. 5·80=400.
18. 240 סמ"ר — אורך=5k, רוחב=3k. 2(5k+3k)=64 ⇒ 16k=64 ⇒ k=4. אורך=20, רוחב=12. שטח: 20×12=240. (יחס, משוואה, גיאומטריה)
19. 4 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 4 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −4. נקודה B(0, −4). רגל₁ = 2, רגל₂ = 4. שטח = ½ × 2 × 4 = 4 יחידות².
20. 6x-10 — 8x-4-2x-6 = 6x-10.
21. שטח = 84 סמ״ר; היקף = 42 ס״מ — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 12 × 7 = 84 סמ״ר. היקף: 2 × (בסיס + צלע צדדית) = 2 × (12 + 9) = 2 × 21 = 42 ס״מ.
22. 30% — 18/60=0.3=30%.
23. 50.24 סמ"ר — שטח = π×r² = 3.14×16 = 50.24
24. 15 — שלב 1 — סך החלקים: 3 + 5 = 8. שלב 2 — ערך חלק יחיד: 40 ÷ 8 = 5. שלב 3 — מספר הבנים: 3 × 5 = 15.
25. x=7 — פילוג: 3x-6=15, 3x=21, x=7
26. חוצה ציר y ב-(0, 4); f(3) = −2 — חיתוך ציר y: הצב x = 0: f(0) = −2×0 + 4 = 4. נקודת חיתוך: (0, 4). ערך ב-x = 3: f(3) = −2×3 + 4 = −6 + 4 = −2.
27. 6 — מספר האפסים בסוף n! = מספר ההופעות של 5 בפירוק לגורמים. ⌊25/5⌋ + ⌊25/25⌋ = 5 + 1 = 6.
28. 70° — פנימית+חיצונית=180. 180-110=70.
29. 81 ש״ח — שלב 1: אחרי הנחה 25%: 120×0.75=90 ש״ח. שלב 2: אחרי עוד 10%: 90×0.90=81 ש״ח.
30. 20 ימים — סך עבודה: 5×12 = 60 ימי-עבודה. 60 ÷ 3 = 20 ימים. (יחס הפוך)
31. x=80, חציון 80 — סכום = 76×5 = 380. x = 380 − 70 − 80 − 90 − 60 = 80. סדר: 60,70,80,80,90 → חציון 80. (סטטיסטיקה ומשוואה)
32. 26 מ׳ — שלב 1: פיתגורס: d²=24²+10²=576+100=676. שלב 2: d=√676=26 מ׳.
33. 3,000 ₪ — היקף: 2 × (15 + 10) = 50 מ׳. מספר גדרות: 50 ÷ 2 = 25 גדרות. עלות: 25 × 120 = 3,000 ₪.
34. 1 — ספרות האחדות של חזקות 7: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... מחזור באורך 4. 100 ÷ 4 = 25 בדיוק (שארית 0), כלומר מתאים למקום הרביעי במחזור: 1.
35. x=±7 — גם 7 וגם -7 בריבוע נותנים 49.
36. 96 — 100·1.2=120. 120·0.8=96.
37. 10 — 20% מ-500=100. 10% מ-100=10.
38. x=3 — מקביל לציר y - x קבוע. עובר ב-x=3.
39. 80 קמ״ש — שלב 1 — המר זמן לשעות: 2 שעות 15 דקות = 2.25 שעות. שלב 2 — מהירות = מרחק ÷ זמן = 180 ÷ 2.25 = 80 קמ״ש.
40. 29.44 מ״ר — שטח חדר L: 8×6 − 2×3 = 48 − 6 = 42 מ״ר. רדיוס שטיח: 4÷2 = 2 מ׳. שטח שטיח: π×r² = 3.14×4 = 12.56 מ״ר. שטח רצפה ללא שטיח: 42 − 12.56 = 29.44 מ״ר.