סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 16 שנים — שלב 1 — נסמן את מספר השנים ב-x. בעוד x שנים אבי בן 12+x ואביו בן 40+x. שלב 2 — משוואה: 40 + x = 2(12 + x). שלב 3 — פתיחה: 40 + x = 24 + 2x, ולכן x = 16.
2. x ≤ 1 — 5 − 2(x + 1) ≥ 1 → 5 − 2x − 2 ≥ 1 → 3 − 2x ≥ 1 → −2x ≥ −2 → x ≤ 1 (חלוקה במינוס הופכת כיוון).
3. (2,0) ו-(0,−8) — שלב 1 — חיתוך עם ציר x (y=0): 4x−8=0 → 4x=8 → x=2 → נקודה (2,0). שלב 2 — חיתוך עם ציר y (x=0): y=4·0−8=−8 → נקודה (0,−8).
4. 36 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (12 + 8) × 9 = ½ × 20 × 9 = 90 מ״ר. שטח בנייה: 0.40 × 90 = 36 מ״ר.
5. 18 — בנים: 40% מ-30 = 12. בנות: 30 − 12 = 18. (משלב אחוזים וחיסור)
6. 3n — (n − 1) + n + (n + 1) = 3n, שמתחלק ב-3 לכל n שלם.
7. x=9 — x/3 = 3, ולכן x = 9
8. 7 — שלב 1 — הכנסה: R(x) = 80x. שלב 2 — לא להפסיד: R(x) ≥ C(x) → 80x ≥ 50x + 200. שלב 3 — 30x ≥ 200 → x ≥ 200/30 = 6.̄6. שלב 4 — מינימום יחידות שלמות: x = 7.
9. x=3 — 0=4x-12, 4x=12, x=3.
10. 3 שעות ו-26 דקות — ברז A ממלא ⅙ לשעה; ברז B ממלא ⅛ לשעה. יחד: ⅙ + ⅛ = 4/24 + 3/24 = 7/24 לשעה. זמן מילוי: 1 ÷ (7/24) = 24/7 ≈ 3.43 שעות. 0.43 × 60 ≈ 26 דקות. סה״כ: כ-3 שעות ו-26 דקות.
11. 2 יחידות² — חיתוך f ו-g: −x + 3 = x + 1 → 2x = 2 → x = 1, y = 2. נקודה C(1, 2). חיתוך f עם ציר x (y = 0): −x + 3 = 0 → x = 3. נקודה A(3, 0). חיתוך g עם ציר x (y = 0): x + 1 = 0 → x = −1. נקודה B(−1, 0). בסיס AB = 3 − (−1) = 4 יחידות. גובה = y-קואורדינטת C = 2. שטח = ½ × 4 × 2 = 4 יחידות².
12. 60 סמ״ר — הגובה לבסיס חוצה אותו לשני חצאים בני 5 סמ. h² + 5² = 13² → h² = 144 → h = 12. S = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
13. 8√2 סמ — שטח = 64 → צלע = √64 = 8 סמ. באלכסון של ריבוע משתמשים בפיתגורס: d² = 8² + 8² = 128. d = √128 = 8√2 סמ.
14. שטח 25, היקף 20 — שטח = 5×5 = 25 סמ"ר. היקף = 4×5 = 20 ס"מ. (גיאומטריה וכפל)
15. כן — 25+144=169=13^2, מקיים פיתגורס.
16. 17 — סכום ארבעת המספרים = 4 × 15 = 60. סכום חדש לאחר הוספת 25: 60 + 25 = 85. ממוצע חדש = 85 ÷ 5 = 17.
17. 96 — 100·1.2=120. 120·0.8=96.
18. 3^8 — בחזקה של חזקה - מכפילים מעריכים: 2·4=8.
19. 1/3 — סה״כ כדורים: 3 + 4 + 2 = 9. כדורים אדומים: 3. סיכוי: 3/9 = 1/3.
20. 95 — סכום 4 ציונים: 4 × 85 = 340. סכום נדרש ל-5 ציונים עם ממוצע 87: 5 × 87 = 435. ציון חמישי: 435 − 340 = 95.
21. 1 — כל מספר (שונה מאפס) בחזקת אפס שווה 1.
22. 60 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √225 = 15 סמ. היקף = 4 × 15 = 60 סמ.
23. 16 — נסמן: דני = x, רנה = x + 2. x + (x + 2) = 34 2x + 2 = 34 2x = 32 x = 16. דני קנה 16 ספרים, רנה קנתה 18.
24. 60° — 180-70-50 = 60. (זוויות במשולש + חיסור)
25. 6,200 ₪ — ריבית פשוטה לשנה: 5000 × 0.08 = 400 ₪. ל-3 שנים: 400 × 3 = 1,200 ₪. סכום סופי = 5,000 + 1,200 = 6,200 ₪.
26. 0.936x — שלב 1 — לאחר הנחה 20%: מחיר = x · 0.8 שלב 2 — לאחר תוספת מע"מ 17%: מחיר = 0.8x · 1.17 = 0.936x לכן הביטוי הפשוט הוא 0.936x.
27. 1/6 — מספרים אי-זוגיים: 1, 3, 5. מספרים גדולים מ-4: 5, 6. החיתוך: רק 5. P = 1/6.
28. 1620 ש"ח — אחרי עלייה: 1500×1.2=1800. אחרי ירידה: 1800×0.9=1620
29. 1/6 — שלב 1 — סה"כ תוצאות: 6 × 6 = 36. שלב 2 — צמדים עם סכום 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 צמדים. שלב 3 — הסתברות: 6/36 = 1/6.
30. 4 — 7 ≡ 2 (mod 5). 7^50 ≡ 2^50 (mod 5). 2^4 = 16 ≡ 1 (mod 5). 2^50 = 2^(4·12 + 2) = (2^4)^12 · 2^2 ≡ 1 · 4 = 4.
31. 5 — 3^2+4^2=25, √25=5.
32. 1:4 — היקף = 2×(בסיס + צלע צדדית) = 2×(בסיס + 10) = 56 → בסיס + 10 = 28 → בסיס = 18 ס״מ. שטח = בסיס × גובה = M. מקבילית קטנה: בסיס = 18/2 = 9, גובה = גובה/2. שטח קטנה = 9 × (גובה/2) = M/4. יחס: (M/4)/M = 1/4.
33. 5 — 13^2-12^2=169-144=25, √25=5.
34. 11 — שיפוע: m = (7 − 1) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. משוואה: y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1. ב-x = 6: y = 2(6) − 1 = 12 − 1 = 11.
35. 17 — שיפוע: m = (11 − 3) ÷ (4 − 0) = 8 ÷ 4 = 2. חיתוך ציר y: b = 3 (מהנקודה (0, 3)). משוואה: y = 2x + 3. ב-x = 7: y = 2(7) + 3 = 17.
36. 10 — f(3) = 2·3 + 1 = 7. f(−2) = 2·(−2) + 1 = −3. f(3) − f(−2) = 7 − (−3) = 10.
37. 4 — פרופורציה הפוכה: 8·6=48. 48/12=4.
38. ממוצע עלה ב-10; חציון עלה ב-10; טווח לא השתנה — ציונים מקוריים: 60,70,80,90,100. ממוצע: 80. חציון: 80. טווח: 100−60=40. לאחר הוספת 10: 70,80,90,100,110. ממוצע: 90 (עלה ב-10). חציון: 90 (עלה ב-10). טווח: 110−70=40 (לא השתנה). הוספת קבוע לכל ערך מעלה את הממוצע והחציון באותה כמות אך אינה משנה את הטווח.
39. 14 — שיפוע: m = (11 − 5) / (3 − 1) = 6/2 = 3. משוואת הישר: y = 3x + b. הצבה של (1, 5): 5 = 3(1) + b → b = 2. ולכן y = 3x + 2. עבור x = 4: y = 3(4) + 2 = 14.
40. 126 סמ״ר — נסמן רוחב = w, אורך = w + 5. היקף: 2(w + w + 5) = 46 → 2(2w + 5) = 46 → 4w + 10 = 46 → 4w = 36 → w = 9 סמ. אורך = 9 + 5 = 14 סמ. שטח = 9 × 14 = 126 סמ״ר.