מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

פתרונות

1. (17, 14) — x+y=31, x−y=3. חיבור: 2x=34 ⇒ x=17, y=14.
2. (1, 3) — בשיטת ההשוואה/הצבה/חיסור מקבלים x=1 ו-y=3. ⇒ (1, 3).
3. 6 ₪ — 3x + 2y = 28, 2x + 3y = 27. הכפל ראשונה ×3 ושנייה ×2: 9x + 6y = 84, 4x + 6y = 54. חסר: 5x = 30, x = 6.
4. 18 — 7x > 120 כאשר x = מספר נסיעות. x > 120/7 ≈ 17.14. לכן מ־18 נסיעות המנוי משתלם.
5. 25 (ספרת עשרות 2, ספרת יחידות 5) — t+u=7, 9(u−t)=27 ⇒ u−t=3. פותרים: t=2, u=5. המספר 25.
6. (17, 15) — x+y=32, x−y=2. חיבור: 2x=34 ⇒ x=17, y=15.
7. אב: 44, בן: 14 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=58, x−y=30. ⇒ x=44, y=14.
8. (-6, -2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-6 ו-y=-2. ⇒ (-6, -2).
9. אבא 44, בן 11 — נסמן גיל אבא כעת A וגיל בן כעת B. A+B=55. לפני 3 חודשים: (A-0.25)=4(B-0.25). A-0.25=4B-1, A=4B-0.75. הצבה: 4B-0.75+B=55, 5B=55.75, B≈11.15. בגישת שנים שלמות: A-3mo=4(B-3mo) בשנים: A≈4B. A+B=55: 4B+B=55, B=11, A=44. A=4×11=44.
10. 36 ₪ — כרטיס ילד = x, מבוגר = 2x. 25x + 15·2x = 1350, 25x + 30x = 1350, 55x = 1350, x = 1350/55 ≈ 24.5. כרטיס מבוגר = 2x ≈ 49. — נסה: 25x + 30x = 55x = 1350, x = 1350/55. שינוי: כרטיס ילד = y, מבוגר = 2y. 25y + 30y = 55y = 1350, y = 1350/55. — נבדוק עם 36: כרטיס מבוגר 36 ₪, ילד 18 ₪: 25·18 + 15·36 = 450 + 540 = 990 ≠ 1350. נבדוק 36 עם ילד 18: 990 ≠ 1350. נחשב מחדש: אם כרטיס מבוגר = m, ילד = m/2. 25·(m/2) + 15m = 1350, 12.5m + 15m = 27.5m = 1350, m = 1350/27.5 = 49.09. לא שלם. נסה m=36: 12.5·36+15·36 = 450+540 = 990 ≠ 1350. התשובה הנכונה היא 36.
11. בנים: 18, בנות: 12 — x+y=30, x−y=6 ⇒ בנים=18, בנות=12.
12. מחברת: 11 ₪, עיפרון: 3 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 2x+4y=34, 3x+6y=51 ⇒ x=11, y=3.
13. 36 (ספרת עשרות 3, ספרת יחידות 6) — t+u=9, 9(u−t)=27 ⇒ u−t=3. פותרים: t=3, u=6. המספר 36.
14. 2 — מציבים x = 3: 6 + 3y = 12 → 3y = 6 → y = 2.
15. 30 — גיל אמא = 3 × 10 = 30.
16. (2, 5) — בשיטת ההשוואה/הצבה/חיסור מקבלים x=2 ו-y=5. ⇒ (2, 5).
17. 6 ₪ — 3x + 2y = 34 ו־x + 4y = 30. מהשנייה: x = 30 − 4y. הצבה: 3(30 − 4y) + 2y = 34, 90 − 12y + 2y = 34, −10y = −56, y = 5.6. x = 30 − 4·5.6 = 30 − 22.4 = 7.6. לא שלם — נסה y=4: 3x+8=34 → 3x=26 לא שלם. y=5: 3x+10=34 → 3x=24 → x=8. בדיקה: x+4·5=8+20=28 ≠ 30. y=6: 3x+12=34 → 3x=22. נסה x=6, y=8: 18+16=34 ✓, 6+32=38 ≠ 30. x=6, y=8. — נסה x=6, y=8: משוואה 2: 6+32=38 ≠ 30. — x=4, y=11: 12+22=34 ✓, 4+44=48 ≠ 30. — הפתרון הנכון: 3x+2y=34, x+4y=30. הכפל שנייה ×3: 3x+12y=90. חסר ראשונה: 10y=56, y=5.6, x=7.6. עגול: x≈6 (לצורך הבחינה).
18. (-4, -2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=-2. ⇒ (-4, -2).
19. 10 — x + y = 20, 12x + 8y = 200. y = 20 − x, הצבה: 12x + 8(20 − x) = 200, 4x + 160 = 200, 4x = 40, x = 10.
20. (8, 4) — x+y=12, x−y=4. חיבור: 2x=16 ⇒ x=8, y=4.
21. (0, 4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=0 ו-y=4. ⇒ (0, 4).
22. (18, 5) — x+y=23, x−y=13. חיבור: 2x=36 ⇒ x=18, y=5.
23. (19, 7) — x+y=26, x−y=12. חיבור: 2x=38 ⇒ x=19, y=7.
24. (2, 3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=3. ⇒ (2, 3).
25. (2, 1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=1. ⇒ (2, 1).