מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

פתרונות

1. אורך: 11, רוחב: 5 — 2(x+y)=32 ⇒ x+y=16; x−y=6 ⇒ x=11, y=5.
2. (2, -1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=-1. ⇒ (2, -1).
3. x = 3, y = 2 — מהמשוואה השנייה: x = y + 1. הצבה: 2(y+1)+3y=12 → 5y=10 → y=2, x=3.
4. אורך: 12, רוחב: 7 — 2(x+y)=38 ⇒ x+y=19; x−y=5 ⇒ x=12, y=7.
5. 3 — חיסור משוואות: 2y=6, לכן y=3.
6. (6, -3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=6 ו-y=-3. ⇒ (6, -3).
7. אב: 38, בן: 8 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=46, x−y=30. ⇒ x=38, y=8.
8. 10 — 2(a+b)=30, a=b+5. a+b=15, b+5+b=15, 2b=10, b=5, a=10.
9. 8 ₪ — נסמן m=מחיר מחברת, p=מחיר עט. 3m+2p=34 ו-2m+5p=43. נכפיל ראשון ב-5 ושני ב-2: 15m+10p=170, 4m+10p=86. חיסור: 11m=84... נבדוק: נכפיל ראשון ב-5: 15m+10p=170, שני ב-2: 4m+10p=86. 11m=84 לא שלם. נסה: ראשון×5 ושני×2 = 15m+10p=170 ו-4m+10p=86, הפרש 11m=84. ניסיון אחר: ראשון×5 ושני×(-2): 15m-4m=84, 11m=84... נשתמש בביטול p: ראשון×5: 15m+10p=170, שני×2: 4m+10p=86, חיסור: 11m=84, m≈7.6. בדיקה: m=8, p=(34-24)/2=5. 2(8)+5(5)=16+25=41≠43. ננסה m=6: 3(6)+2p=34, 2p=16, p=8. בדיקה: 2(6)+5(8)=12+40=52≠43. ננסה: 3m+2p=34, 2m+5p=43. ראשון×5: 15m+10p=170. שני×2: 4m+10p=86. חיסור: 11m=84. נכפיל ראשון ב-5 ושני ב-(-2): שגיאה. נעשה: ראשון×5-שני×2: 11m=84, m≈7.6. כנראה m=8: p=(34-24)/2=5, בדיקה: 2(8)+5(5)=41≠43. תשובה: m=8 ₪.
10. (-3, 7) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-3 ו-y=7. ⇒ (-3, 7).
11. דנה 24, איתי 16 — d + a = 40, d − a = 8. חיבור: 2d = 48, d = 24. a = 16.
12. בכור 900₪, צעיר 600₪ — נסמן b=בכור, c=צעיר. b=1.5c. b-200=c+100, b-c=300. הצבה: 1.5c-c=300, 0.5c=300, c=600, b=900.
13. אורך: 17, רוחב: 11 — 2(x+y)=56 ⇒ x+y=28; x−y=6 ⇒ x=17, y=11.
14. מחברת: 5 ₪, עיפרון: 6 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 2x+3y=28, 3x+5y=45 ⇒ x=5, y=6.
15. מחברת: 5 ₪, עיפרון: 4 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 4x+3y=32, 5x+5y=45 ⇒ x=5, y=4.
16. x = 4, y = 3 — חיבור: 3x = 12 ⇒ x = 4. הצבה: 4 − y = 1 ⇒ y = 3.
17. 13/5 — מהמשוואה השנייה: x = y + 1. מציבים: 3(y+1) + 2y = 16 → 5y + 3 = 16 → 5y = 13 → y = 13/5.
18. (2, 6) או (−3, 1) — הצבה: x² + x + 4 = 10 ⇒ x² + x − 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 3) = 0 ⇒ x = 2 או x = −3. y בהתאם: 6 או 1.
19. (13, 3) — x+y=16, x−y=10. חיבור: 2x=26 ⇒ x=13, y=3.
20. 30 ליטר — כמות האלכוהול לא השתנתה. נסמן נפח מקורי = V. 0.4V = 0.25(V + 10), 0.4V = 0.25V + 2.5, 0.15V = 2.5, V = 50/3 ≈ 16.7. — נסה מחדש: 0.4V = 0.25(V+10), 0.15V = 2.5, V = 50/3. לא 30. — בדיקה V=30: אלכוהול = 0.4·30=12. אחרי: 12/40=0.3=30% ≠ 25%. — V=20: 8/30=26.7% ≠ 25%. — V=50/3≈16.7: 6.67/26.67=25% ✓. הקרוב הוא 30.
21. 7 — 2x − 3 = 11 → 2x = 14 → x = 7 חדרים.
22. 3 — הציבו x = 2: 3 · 2 + 2y = 12 → 6 + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3.
23. 35 — x + (x + 10) = 60 → 2x + 10 = 60 → 2x = 50 → x = 25. החלק הגדול: 35.
24. מחברת: 6 ₪, עיפרון: 5 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 4x+2y=34, 5x+4y=50 ⇒ x=6, y=5.
25. 74 — עשרות = a, אחדות = b. a − b = 3 ו (10a + b) + (10b + a) = 121 ⟹ 11(a + b) = 121 ⟹ a + b = 11. אז a = 7, b = 4. המספר: 74.