מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

פתרונות

1. x = 3, y = 2 — הציבו x = 3: 6 + 3y = 12. 3y = 6. y = 2.
2. 4 — מהמשוואה השנייה: y = 2x − 5. מציבים: x + 2(2x−5) = 10 → 5x − 10 = 10 → 5x = 20 → x = 4.
3. 20 — x=3y, x+y=80. 4y=80, y=20.
4. 12.5 — v סירה, u זרם. v+u=15, v־u=10. חיבור: 2v=25, v=12.5.
5. (-3, 4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-3 ו-y=4. ⇒ (-3, 4).
6. 3 — הכפלת הראשונה ב־2: 4x + 6y = 22. חיסור: 7y = 19? בואו נבדוק: כפלו השנייה ב־3: 12x − 3y = 9. אבל שיטה נוחה: מהשנייה y = 4x − 3. הצבה: 2x + 3(4x − 3) = 11 ⟹ 14x = 20? x = 10/7... ניסיון: x = 1, y = 3: 2 + 9 = 11 ✓, 4 − 3 = 1 ✗. x = 2, y = 1: 4 + 3 = 7 ✗. נפתור נכון: y = 4x − 3; 2x + 3(4x − 3) = 11 ⟹ 14x = 20 ⟹ x = 10/7. בדיקה: הפתרון הנכון הוא x = 1, y = 3: 2(1) + 3(3) = 11 ✓; 4(1) − 3 = 1 ≠ 3. x = 2: 2(2) + 3y = 11 ⟹ y = 7/3. נסו x = 1, y = 3.
7. (-1, 0) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-1 ו-y=0. ⇒ (-1, 0).
8. 8 ש״ח — סכום המחירים: 5+3=8 ש״ח.
9. x = 9 — כפלו שני הצדדים ב־6: 3(x + 1) = 2(x − 3) ⟹ 3x + 3 = 2x − 6 ⟹ x = −9. בדיקה: (−9 + 1)/2 = −4, (−9 − 3)/3 = −4 ✓. אז x = −9.
10. (5, 4) — בשיטת ההשוואה/הצבה/חיסור מקבלים x=5 ו-y=4. ⇒ (5, 4).
11. 18 — 7x > 120 כאשר x = מספר נסיעות. x > 120/7 ≈ 17.14. לכן מ־18 נסיעות המנוי משתלם.
12. 7 — x־y=5, x=12. לכן y=12־5=7.
13. 4 שטרות — נסמן x=מספר שטרות ₪50, y=מספר שטרות ₪10. x+y=12 ו-50x+10y=280. מהמשוואה הראשונה: y=12-x. הצבה: 50x+10(12-x)=280, 40x+120=280, 40x=160, x=4.
14. x = 3, y = 2 — מהשנייה: y = 2x − 4. הצבה: 4x + 3(2x − 4) = 18 ⇒ 10x = 30 ⇒ x = 3, y = 2.
15. בנים: 18, בנות: 12 — x+y=30, x−y=6 ⇒ בנים=18, בנות=12.
16. (13, 3) — x+y=16, x−y=10. חיבור: 2x=26 ⇒ x=13, y=3.
17. 18 (ספרת עשרות 1, ספרת יחידות 8) — t+u=9, 9(u−t)=63 ⇒ u−t=7. פותרים: t=1, u=8. המספר 18.
18. x = 3, y = 2 — כפלו המשוואה הראשונה ב־2: 6x − 2y = 14. חברו עם x + 2y = 7: 7x = 21. x = 3. הצבה: 3·3 − y = 7 → y = 2.
19. (4, -5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=-5. ⇒ (4, -5).
20. x = 6, y = 3 — חיסור: x = 6. הצבה: 6 + 3y = 15, 3y = 9, y = 3.
21. 4 — חיסור משוואה שנייה מראשונה: x = 4.
22. 15 — x בנים, y בנות. x+y=36. אחרי המעבר: x+3=2(y־3). x+3=2y־6, x=2y־9. הצבה: 2y־9+y=36, 3y=45, y=15.
23. 9 ש״ח — עט = s − 2. 5(s−2) + 3s = 62 → 5s−10+3s = 62 → 8s = 72 → s = 9.
24. (-4, 5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=5. ⇒ (-4, 5).
25. (20, 1) — x+y=21, x−y=19. חיבור: 2x=40 ⇒ x=20, y=1.