גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 8 — משושה משוכלל מורכב מ-6 משולשים שווי-צלעות. האלכסון הראשי = 2 · צלע = 8.
2. 5 — פיתגורס: BC² = AB² − AC² = 169 − 144 = 25. BC = 5.
3. √185 — במשולש ABC ישר זווית ב-B: AC² = AB² + BC² = 64 + 121 = 185.
4. y = 3x + 2 — שיפוע = 3. y − 5 = 3(x − 1) ⇒ y = 3x + 2.
5. h (משפט ויויאני) — משפט ויויאני: שטח ABC = שטחי שלושת המשולשים PBC+PCA+PAB = (a·h₁+a·h₂+a·h₃)/2 = a(h₁+h₂+h₃)/2. וגם שטח ABC = a·h/2. השוואה: h₁+h₂+h₃ = h.
6. 15 — b² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, לכן b = 15. זה משולש 8-15-17.
7. 20 ס"מ — AC=12, BD=8. סה"כ 20 ס"מ.
8. 6 + 3√2 ס"מ — יתר = 3√2. היקף = 3 + 3 + 3√2 = 6 + 3√2 ס"מ.
9. $45°$ ו-$45°$ — במשולש ישר זווית ששני ניצביו שווים, כל ניצב שווה לניצב השני. לכן $\tan\alpha = \frac{\text{ניצב נגדי}}{\text{ניצב צמוד}} = 1$, ומכאן $\alpha = 45°$. מאחר שסכום הזוויות החדות חייב להיות $90°$, גם הזווית השנייה היא $45°$. (אכן $45° + 45° = 90°$, ✓)
10. כן, ב-(1, 3) — 1 ו-2 חותכים ב-(1, 3). בדיקה ב-3: y = 1+2 = 3. ✓
11. 10 ס"מ — בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים. BD=AC=10.
12. ניצבים — (2/3) · (−3/2) = −1, לכן ניצבים.
13. 5 — האנך חוצה — חצי בסיס = 3. AB² = 3² + 4² = 25, AB = 5.
14. y = 3x − 1 — מקביל → שיפוע 3. y − 5 = 3(x − 2) ⇒ y = 3x − 1.
15. 4√2 — האלכסון יוצר משולש ישר זווית שווה שוקיים עם הניצבים = 4. AC² = 16+16 = 32, AC = √32 = 4√2.
16. צלעות נגדיות במקבילית שוות — תכונה יסודית של מקבילית: צלעות נגדיות שוות באורכן. "נראה מהשרטוט" אינו נימוק תקף.
17. 21/2 — ½|1(5−2)+4(2−1)+7(1−5)| = ½|3+4−28| = ½×21 = 21/2.
18. 220 — 256 − 4·9 = 256−36 = 220.
19. (6, 0) — האמצע צריך להיות (3, 0). אם A(0,0), אז B = (6, 0).
20. 28 סמ² — הפרש בסיסים = 6, חצי = 3. גובה = √(5²−3²) = 4. שטח = ((4+10)/2)·4 = 7·4 = 28 סמ².
21. 4√2 ס"מ — יתר = ניצב·√2 ⟸ ניצב = 8/√2 = 4√2 ס"מ.
22. 6 — השיפוע של הראשון −a/2. (−a/2)·(1/3) = −1 ⇒ a = 6.
23. מקבילית בלבד — AB ∥ DC (אופקיים), AD ∥ BC (שיפוע 3). אורכים שונים, אלכסונים לא שווים → מקבילית בלבד.
24. (3, 1) — חיבור: 3x = 9 ⇒ x = 3 ⇒ y = 1.
25. 29 סמ² — שטח טרפז = 7·5=35. פחות שטח חור = 6. 35−6=29 סמ².