גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. ריבוע — כל הצלעות 3, זוויות ישרות, אלכסונים שווים ובאורך 3√2. ריבוע.
2. x = 2 — AB על ציר ה-x (אופקי). הגובה מ-C ניצב → אנכי דרך x = 2.
3. 1:3 — משולשים BPQ ו-DAQ דומים (AD∥BP, זוויות מתחלפות). יחס דמיון = BP/AD = BP/BC = 1/3. לכן BQ:QD = 1:3.
4. (3, 7/8) — אנך אמצעי ל-AB: x=3. אנך אמצעי ל-AC: M=(1.5, 2), שיפוע AC=4/3, אנך=−3/4. y−2=−(3/4)(x−1.5) ⇒ ב-x=3: y = 2 − (3/4)(1.5) = 2 − 9/8 = 7/8.
5. 110° — השוקיים מקבילות לקווים בין שני בסיסים מקבילים. זוויות באותה שוק משלימות: 180° − 70° = 110°.
6. 2√13 — |AC| = √(36 + 16) = √52 = 2√13.
7. 246 — שטח מלבן 300. סכום משולשים: (5·12)/2+(6·8)/2 = 30+24 = 54. 300−54=246.
8. 76 סמ² — שטח ריבוע=64. שטח משולש=(8·3)/2=12. סה"כ 76.
9. מלבן — צלעות מקבילות לצירים, זוויות ישרות. AB=4, BC=3 → לא ריבוע. אלכסונים שווים = מלבן.
10. y = 3 — שתי הנקודות בעלות אותו y = 3 → ישר אופקי y = 3.
11. √2/2 — x − y = 0. d = |2 − 3|/√2 = 1/√2 = √2/2.
12. ±10 — |k|/5 = 2 ⇒ |k| = 10 ⇒ k = ±10.
13. 28 — שטח = (AB·גובה)/2 = (7·8)/2 = 28. הגובה מ-E ל-AB שווה לגובה הטרפז.
14. sin⁻¹(0.8) — שטח = AB·AD·sin A ⟸ 48 = 12·5·sin A ⟸ sin A = 48/60 = 0.8 ⟸ A = sin⁻¹(0.8).
15. −2 — m = (−3 − 3)/(2 − (−1)) = −6/3 = −2.
16. 96 — שטח מקבילית 15·8=120. שני משולשים: 2·(4·6)/2=24. 120−24=96.
17. −1/2 — תנאי ניצבות: m₁·m₂ = −1. אם m₁ = 2, אז m₂ = −1/2.
18. √185 — במשולש ABC ישר זווית ב-B: AC² = AB² + BC² = 64 + 121 = 185.
19. D(3, 6) — D = A + C − B = (2+0−(−1), 3+7−4) = (3, 6).
20. (0, 7) — בציר ה-y, x = 0 ולכן y = 7. הנקודה היא (0, 7).
21. 60° — מעוין הוא מקבילית, לכן זוויות סמוכות משלימות: 180° − 120° = 60°.
22. y = −x + 7 — M = (3, 4). m_AB = 1. m_perp = −1. y − 4 = −(x − 3) ⇒ y = −x + 7.
23. A(1, 5) — A + C = B + D ⇒ A = B + D − C = (2+5−6, 1+7−3) = (1, 5).
24. 2π∫f(x)√(1+f'(x)²)dx — SA=2π∫f(x)√(1+f'(x)²)dx (שטח משטח סיבוב).
25. 4 ס"מ — h = BC·sin A = 8·sin30° = 8·0.5 = 4 ס"מ.