גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $45°$ ו-$45°$ — במשולש ישר זווית ששני ניצביו שווים, כל ניצב שווה לניצב השני. לכן $\tan\alpha = \frac{\text{ניצב נגדי}}{\text{ניצב צמוד}} = 1$, ומכאן $\alpha = 45°$. מאחר שסכום הזוויות החדות חייב להיות $90°$, גם הזווית השנייה היא $45°$. (אכן $45° + 45° = 90°$, ✓)
2. 8√3 ס"מ — האלכסון AC חוצה את הזווית A, לכן זווית BAC = 30°. במשולש AOB (O מרכז): cos 30° = AO/AB ⟸ AO = 8·(√3/2) = 4√3. AC = 8√3.
3. מקבילית בלבד — AB ∥ DC (אופקיים), AD ∥ BC (שיפוע 3). אורכים שונים, אלכסונים לא שווים → מקבילית בלבד.
4. 12 — AB אופקי, אורך 4. גובה מ-C: |8−2| = 6. S = ½ × 4 × 6 = 12.
5. מלבן — צלעות מקבילות לצירים ⇒ זוויות ישרות. אורכי צלעות 4 ו-3 (לא שווים) ⇒ מלבן.
6. −5/2 — k · (2/5) = −1 ⇒ k = −5/2.
7. 84 — יחס דמיון ADE ל-ABC = AD/AB = 4/10 = 2/5. יחס שטחים = (2/5)² = 4/25. שטח ABC = 16·25/4 = 100. שטח טרפז = 100−16 = 84.
8. 42 סמ² — AD הוא הגובה. שטח = ((10+4)/2)·6 = 7·6 = 42 סמ².
9. −2 — שיפוע AB = (4−2)/(5−1) = 1/2. ניצב: −2.
10. y = −x + 7 — M = (3, 4). m_AB = 1. m_perp = −1. y − 4 = −(x − 3) ⇒ y = −x + 7.
11. x = 3 — שיפוע לא מוגדר → ישר אנכי דרך x = 3.
12. y = 0 — M = (0, 0). הקטע אנכי, אנך אמצעי אופקי: y = 0 (ציר ה-x).
13. 20 סמ² — שטח מעוין=(6·8)/2=24. שטח ריבוע=4. 24−4=20.
14. 12 — b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, ולכן b = 12. זה משולש 5-12-13.
15. 8 — AC על ציר ה-x באורך 4. גובה מ-B: 4. S = ½ × 4 × 4 = 8.
16. 4√3 — גובה = 4·√3/2 = 2√3. שטח = 4·2√3/2 = 4√3.
17. 48 סמ² — שטח מלבן = 60. שטח כל משולש = (6·2)/2 = 6. שטח שנותר = 60 − 2·6 = 48 סמ².
18. 12 — יחס דמיון 1:3 → אורכים מתאימים כפול 3. 4·3 = 12.
19. 10 ס"מ — אלכסונים במקבילית חוצים זה את זה. AC = 2·AM = 10.
20. D(1, −2) — D = A + C − B = (−3+4−0, −1+1−2) = (1, −2).
21. 132 סמ² — חצי הבדל בסיסים = 5. גובה = √(169−25)=12. שטח = ((16+6)/2)·12 = 11·12 = 132.
22. 12 — S = ½ × בסיס × גובה = ½ × 6 × 4 = 12.
23. 6√3 ס"מ — זוויות בסיס 30°. חצי בסיס = 6·cos 30° = 6·(√3/2) = 3√3. בסיס = 6√3 ס"מ.
24. 8 ס"מ — 60 = ((7+b)/2)·8 ⟸ (7+b)/2 = 7.5 ⟸ b = 8 ס"מ.
25. 3√3 ס"מ — h = AD·sin A = 6·sin 60° = 6·(√3/2) = 3√3 ס"מ.