גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. y = 2x + 4 — מסדרים: y = 2x + 3, שיפוע 2. הישר המבוקש: y = 2x + 4.
2. 1/4 — שני האלכסונים מחלקים את המלבן לארבעה משולשים בעלי שטחים שווים (כל אחד עם אותו בסיס וגובה ביחס למלבן). לכן שטח כל משולש = רבע משטח המלבן.
3. y = 3x − 13 — שיפוע ניצב = −1/(−1/3) = 3. y + 1 = 3(x − 4) ⇒ y = 3x − 13.
4. 0 — D(2, 3), C(6, 3) → שיפוע (3−3)/(6−2) = 0. גם שיפוע AB = 0 → מקבילים.
5. y = −x/2 + 4 — y − 5 = (−1/2)(x + 2) ⇒ y = −x/2 − 1 + 5 = −x/2 + 4.
6. 48 — גובה: BD = 6, AD² = 100 − 36 = 64, AD = 8. שטח = 12·8/2 = 48.
7. 12 — DP²=x²+25=169 ⇒ x²=144 ⇒ x=12. כלומר P=B.
8. נכון, |MA| = |MB| — |MA| = √(9+4) = √13. |MB| = √(9+4) = √13. שווים → על אנך אמצעי.
9. 13 — |AC| = √(25 + 144) = √169 = 13. משולש פיתגורי 5-12-13.
10. y = (1/2)x — אמצע BC = (4, 2). תיכון מ-A(0,0) ל-(4, 2): y = (1/2)x.
11. √2/2 — x − y = 0. d = |2 − 3|/√2 = 1/√2 = √2/2.
12. 4.5x — שטח = (CP·BC)/2 = (x·9)/2 = 4.5x.
13. 2√3 ס"מ — tan 30° = BC/AB ⟸ BC = 6·tan 30° = 6·(√3/3) = 2√3 ס"מ.
14. 5 — d = √(3² + 4²) = √25 = 5. משולש 3-4-5 קלאסי.
15. 70° — סכום הזוויות 180°. זוויות הבסיס שוות: (180 − 40)/2 = 70°. מסיח 140 — שכחת חלוקה ב-2.
16. 54 סמ² — המשולש BEC: בסיס BC=9, גובה מ-E ל-BC = AB = 12. שטח = (9·12)/2 = 54.
17. A(1, 5) — A + C = B + D ⇒ A = B + D − C = (2+5−6, 1+7−3) = (1, 5).
18. (5, 4) — האמצע הוא (3, 4), אז B = (2·3 − 1, 2·4 − 4) = (5, 4).
19. F אמצע AB (נתון) — השוויון AF = FB נובע ישירות מהגדרת אמצע: F אמצע AB ⟸ AF = FB. זה נתון בשאלה.
20. 2√3 ס"מ — חצי הפרש = 2. גובה = √(16−4) = √12 = 2√3.
21. מלבן — מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן. הצלעות אינן שוות, אז לא ריבוע.
22. ריבוע — כל הצלעות = √5, שיפוע AB=1/2, BC=−2 → ניצבות. ריבוע.
23. 4√2 — יחס 1:1:√2. ניצב = יתר/√2 = 8/√2 = 4√2.
24. 12 — האנך AD חוצה את BC. $BD = 5$. $AD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. לכן $AD = 12$.
25. 24 סמ² — שטח מעוין = (d₁·d₂)/2 = (6·8)/2 = 24 סמ². מסיח 48 — שכחת חלוקה ב-2.