גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. מקבילית בלבד — AB ∥ DC (שיפוע 0), AD ∥ BC (שיפוע 3/2). |AB|=4, |AD|=√13 ⇒ לא מעוין. AC ו-BD לא ניצבים, אורכי האלכסונים שונים ⇒ לא מלבן.
2. 12 — b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, ולכן b = 12. זה משולש 5-12-13.
3. 12 — S = ½ × בסיס × גובה = ½ × 6 × 4 = 12.
4. 30° — זוויות הבסיס שוות (75°). זווית A = 180° − 150° = 30°.
5. כן, ב-(1, 3) — 1 ו-2 חותכים ב-(1, 3). בדיקה ב-3: y = 1+2 = 3. ✓
6. 1 — k = 3·2 − 5 = 1.
7. 96−4√3 סמ² — שטח מלבן=96. שטח משולש שווה צלעות צלע 4 = (16√3)/4 = 4√3. נשאר 96−4√3.
8. מעוין — כל הצלעות = 5, אך אלכסונים לא שווים → מעוין (לא ריבוע).
9. (14/5, 9/5) — x = y+1. הצב: 3(y+1)+2y = 12 ⇒ 5y = 9 ⇒ y=9/5, x=14/5.
10. 32 סמ² — שטח טרפז = ((a+b)/2)·h = ((6+10)/2)·4 = 8·4 = 32 סמ². מסיח 64 — שכחת חלוקה ב-2.
11. (−2, −5) — y = k(x+2) − 5. ל-x=−2: y=−5 לכל k.
12. C(7, 6) — C = B + D − A = (6+2−1, 2+5−1) = (7, 6).
13. y = 3x − 1 — מקביל → שיפוע 3. y − 5 = 3(x − 2) ⇒ y = 3x − 1.
14. ריבוע — כל הצלעות = √5, שיפוע AB=1/2, BC=−2 → ניצבות. ריבוע.
15. 24 ס"מ — חצי אלכסון אחד=5. חצי השני=√(169−25)=12. השני = 24.
16. y = 2x + 4 — מסדרים: y = 2x + 3, שיפוע 2. הישר המבוקש: y = 2x + 4.
17. 3.6 + 6.4 ס"מ — האלכסון BD ניצב ל-AC ונחצה ע"י AC. BO = 4.8. AO = √(6²−4.8²) = √12.96 = 3.6. OC = √(8²−4.8²) = √40.96 = 6.4. AC = 3.6 + 6.4 = 10 ס"מ.
18. F אמצע AB (נתון) — השוויון AF = FB נובע ישירות מהגדרת אמצע: F אמצע AB ⟸ AF = FB. זה נתון בשאלה.
19. 6 + 3√2 ס"מ — יתר = 3√2. היקף = 3 + 3 + 3√2 = 6 + 3√2 ס"מ.
20. (8, 5) — C = B + D − A = (6+3−1, 2+5−2) = (8, 5).
21. 6√2 — האלכסון יוצר משולש 45-45-90 עם ניצבים 6. אלכסון = 6√2.
22. 48 סמ² — שטח מלבן = 60. שטח כל משולש = (6·2)/2 = 6. שטח שנותר = 60 − 2·6 = 48 סמ².
23. 76 סמ² — שטח ריבוע=64. שטח משולש=(8·3)/2=12. סה"כ 76.
24. מלבן — צלעות מקבילות לצירים, זוויות ישרות. AB=4, BC=3 → לא ריבוע. אלכסונים שווים = מלבן.
25. 24 סמ² — שטח = (d₁·d₂)/2 = (6·8)/2 = 24 סמ².