גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 7.5 ס"מ — שטח קבוע: 10·3 = 4·h ⟸ h = 30/4 = 7.5 ס"מ.
2. מעוין — כל הצלעות = 5, אך אלכסונים לא שווים → מעוין (לא ריבוע).
3. 2√3 ס"מ — tan 30° = BC/AB ⟸ BC = 6·tan 30° = 6·(√3/3) = 2√3 ס"מ.
4. −1/2 — ky = −2x + 5 ⇒ y = (−2/k)x + 5/k. דרישה: −2/k = 4 ⇒ k = −1/2.
5. (1, 2) — M = ((−3+5)/2, (7+(−3))/2) = (1, 2).
6. 2 — 0 = (k−1)(−3) + 3 ⇒ −3(k−1) = −3 ⇒ k−1 = 1 ⇒ k = 2.
7. מעוין — |AB|=5, |BC|=5, |CD|=5, |DA|=5 — כל הצלעות שוות. AB לא ניצב ל-BC ⇒ לא ריבוע ⇒ מעוין.
8. 5√2 — Δx = 5, Δy = 5 ⇒ d = √50 = 5√2.
9. 7 — במשולש ישר זווית התיכון מקדקוד הזווית הישרה ליתר שווה לחצי היתר. CD = 14/2 = 7.
10. 54 סמ² — שטח מלבן 60, פחות שטח משולש (3·4)/2=6. נשאר 54 סמ².
11. 10 — במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה לחצי היתר. אם התיכון = 5, אז BC = 10.
12. 15 — b² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, לכן b = 15. זה משולש 8-15-17.
13. מקבילית בלבד — AB ∥ DC (אופקיים), AD ∥ BC (שיפוע 3). אורכים שונים, אלכסונים לא שווים → מקבילית בלבד.
14. −1/4 — תנאי ניצבות: k · 4 = −1 ⇒ k = −1/4.
15. 5 — Δx = 3, Δy = 4 ⇒ d = √(9+16) = 5.
16. 30 סמ² — שטח מקבילית = a·b·sin θ = 6·10·sin 30° = 60·(1/2) = 30 סמ². מסיח 60 — שכחת sin.
17. 10 — יחס הצלעות 1:√3:2. היתר = 2 · 5 = 10.
18. 10 — c² = 36 + 64 = 100, ולכן c = 10. זה משולש 6-8-10 (כפולה של 3-4-5).
19. האלכסונים שווים — בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים. הם לא בהכרח ניצבים. השוקיים אינן מקבילות (אחרת זו מקבילית).
20. 24√3 סמ² — שטח = a·b·sin θ = 8·6·sin60° = 48·(√3/2) = 24√3 סמ².
21. 1/4 — שני האלכסונים מחלקים את המלבן לארבעה משולשים בעלי שטחים שווים (כל אחד עם אותו בסיס וגובה ביחס למלבן). לכן שטח כל משולש = רבע משטח המלבן.
22. 24 ס"מ — היתר של המשולש EC = √(BE²+BC²) = √(9+16) = 5. הצלע BC משותפת למלבן ולמשולש ולכן אינה חלק מההיקף החיצוני. ההיקף = AB + BE + EC + CD + DA = 6 + 3 + 5 + 6 + 4 = 24 ס"מ.
23. 13 — Δx = 5, Δy = 12 ⇒ d = √(25 + 144) = √169 = 13.
24. 6 — לפי משפט תאלס (חוצים מקבילים): AE/EB = AD/DC = 2/3. אם AE=4: 4/EB=2/3 ⇒ EB=6.
25. (−2, −5) — y = k(x+2) − 5. ל-x=−2: y=−5 לכל k.