גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 124 סמ² — 140−16=124 סמ².
2. נכון לפי סימטריה ביחס לאלכסון DB — האלכסון DB הוא ציר סימטריה של הריבוע (מחליף A↔C, B↔B, D↔D). תחת ההשתקפות: AB↔CB, ולכן E (אמצע AB) ↔ F (אמצע CB). מכאן DE=DF, וזווית EDF נחצית ע"י DB.
3. (2, 0) — בציר ה-x מציבים y = 0: 0 = 2x − 4 ⇒ x = 2. נקודה (2, 0).
4. 20 ס"מ — AC=12, BD=8. סה"כ 20 ס"מ.
5. 10 — יחס 1:√3:2. אם הקצרה = 5, היתר = 10.
6. y = −x + 5 — M = (1, 4). שיפוע AB = 1. שיפוע אנך = −1. y − 4 = −(x−1) ⇒ y = −x + 5.
7. 10 ס"מ — קו האמצעים של טרפז = ממוצע הבסיסים = (7+13)/2 = 10 ס"מ.
8. (−2, −5) — y = k(x+2) − 5. ל-x=−2: y=−5 לכל k.
9. 2 — d = |3·0 + 4·0 − 10|/√(9+16) = 10/5 = 2.
10. 110° — השוקיים מקבילות לקווים בין שני בסיסים מקבילים. זוויות באותה שוק משלימות: 180° − 70° = 110°.
11. 8√3 ס"מ — האלכסון AC חוצה את הזווית A, לכן זווית BAC = 30°. במשולש AOB (O מרכז): cos 30° = AO/AB ⟸ AO = 8·(√3/2) = 4√3. AC = 8√3.
12. y = 3x − 1 — y − 5 = 3(x − 2) ⇒ y = 3x − 6 + 5 = 3x − 1.
13. 8 — האלכסון הארוך = 2·צלע = 8 (המשושה מורכב מ-6 משולשים שווי צלעות).
14. 24 ס"מ — היתר של המשולש EC = √(BE²+BC²) = √(9+16) = 5. הצלע BC משותפת למלבן ולמשולש ולכן אינה חלק מההיקף החיצוני. ההיקף = AB + BE + EC + CD + DA = 6 + 3 + 5 + 6 + 4 = 24 ס"מ.
15. 120 סמ² — (d₂/2)² = 13² − 5² = 144 ⟸ d₂ = 24. שטח = (10·24)/2 = 120 סמ².
16. (2, 3) — 2x − 1 = −x + 5 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2, y = 3.
17. 2 — מקבילים: k + 1 = 3 ⇒ k = 2.
18. (3, 3) — אנך אמצעי AB: x=3. חיתוך עם y=x: (3, 3).
19. 24 סמ² — בסיס AB=8, גובה=BC=6. שטח = (8·6)/2 = 24 סמ².
20. D(0, 5) — D = A + C − B = (−2+5−3, 1+6−2) = (0, 5).
21. 119 — 144 − 25 = 119.
22. 10 + 2√13 — AB = 5, BC = √(4+9) = √13. היקף = 2(5 + √13) = 10 + 2√13.
23. כן, בנקודה (2, 5) — 2x + 1 = −x + 7 ⇒ x = 2, y = 5. בדיקה: y = x + 3 ⇒ 5 = 2 + 3 ✓.
24. y = −x + 7 — M = (4, 3), m_AB = 1, m_⊥ = −1. y − 3 = −(x − 4) ⇒ y = −x + 7.
25. 2√13 — |AC| = √(36 + 16) = √52 = 2√13.