גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. C(7, 6) — C = B + D − A = (6+2−1, 2+5−1) = (7, 6).
2. 2√3 ס"מ — tan 30° = BC/AB ⟸ BC = 6·tan 30° = 6·(√3/3) = 2√3 ס"מ.
3. α = β — במקבילית זוויות נגדיות שוות, זוויות סמוכות משלימות ל-180°.
4. 2 — c² = (√3)² + 1² = 3 + 1 = 4, לכן c = 2. זה משולש 30-60-90 עם יחס 1:√3:2.
5. 12 — יחס דמיון 1:3 → אורכים מתאימים כפול 3. 4·3 = 12.
6. 12 — בסיס AB = 4 (אופקי), גובה = |8 − 2| = 6. שטח = ½·4·6 = 12.
7. האלכסונים שווים — בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים. הם לא בהכרח ניצבים. השוקיים אינן מקבילות (אחרת זו מקבילית).
8. ריבוע — כל הצלעות שוות 3, זוויות ישרות → ריבוע.
9. y = −x/3 − 2 — y = mx + n, m = −1/3, n = −2 → y = −x/3 − 2.
10. 13 — Δx = 5, Δy = 12 ⇒ d = √(25 + 144) = √169 = 13.
11. אלכסונים ניצבים — בדלתון האלכסונים ניצבים זה לזה. כל הצלעות שוות זו תכונת מעוין, לא דלתון כללי.
12. 124 סמ² — 140−16=124 סמ².
13. 24√3 סמ² — שטח = a·b·sin θ = 8·6·sin60° = 48·(√3/2) = 24√3 סמ².
14. −1/4 — תנאי ניצבות: k · 4 = −1 ⇒ k = −1/4.
15. 60° — כל הצלעות שוות (10) — משולש שווה צלעות. לכן כל הזוויות 60°.
16. 4 — ישר אנכי x = 1. מרחק = |5 − 1| = 4.
17. 2/√5 — d = |2 + 1 − 5|/√(4+1) = 2/√5.
18. 8 — האלכסון הארוך = 2·צלע = 8 (המשושה מורכב מ-6 משולשים שווי צלעות).
19. 8 — משולש ABD שווה שוקיים עם זווית קודקוד 60° — שווה צלעות. לכן BD = 8.
20. 50 סמ² — המעוין הוא ריבוע (סימטריה) ששטחו חצי משטח הריבוע. 100/2=50.
21. y = (1/2)x − 3 — n = −3 (חיתוך עם ציר y). y = (1/2)x − 3.
22. y = 3x − 5 — הישר: y = 3x + 4, שיפוע 3. y − (−2) = 3(x − 1) ⇒ y = 3x − 5.
23. מקבילים — שני הישרים בעלי אותו שיפוע (3) אך n שונה — מקבילים.
24. משפט נקודת המפגש של התיכונים — נקודת המפגש של התיכונים (המרכז) מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 כאשר החלק הגדול מהקודקוד. ההוכחה: דרך נקודות אמצע משולש קטן דומה ביחס 1:2, ומכאן יחס החלקים על התיכון.
25. מלבן — צלעות מקבילות לצירים, זוויות ישרות. AB=4, BC=3 → לא ריבוע. אלכסונים שווים = מלבן.