גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 4 — ישר אנכי x = 1. מרחק = |5 − 1| = 4.
2. אלכסונים ניצבים — בדלתון האלכסונים ניצבים זה לזה. כל הצלעות שוות זו תכונת מעוין, לא דלתון כללי.
3. 8 — AC על ציר ה-x באורך 4. גובה מ-B: 4. S = ½ × 4 × 4 = 8.
4. y = 3 — מקביל לציר ה-x → אופקי. y = 3.
5. 48 — ((9+15)·4)/2 = 48.
6. מקבילים — שני הישרים בעלי אותו שיפוע (3) אך n שונה — מקבילים.
7. (3, 1) — חיבור: 3x = 9 ⇒ x = 3. הצב: y = 1.
8. x = 3 — y = 5 אופקי. ניצב = אנכי דרך x = 3.
9. 75 סמ² — שטח מלבן = 12·5 = 60. שטח משולש BCE = (5·6)/2 = 15. סה"כ 75 סמ².
10. מעוין — כל הצלעות = 5, אלכסונים לא שווים (|AC|=√80, |BD|=√20) → מעוין.
11. 96 סמ² — חצי אלכסון אחד=6. חצי השני=√(100−36)=8. אלכסון שני=16. שטח=(12·16)/2=96.
12. נכון לפי סימטריה ביחס לאלכסון DB — האלכסון DB הוא ציר סימטריה של הריבוע (מחליף A↔C, B↔B, D↔D). תחת ההשתקפות: AB↔CB, ולכן E (אמצע AB) ↔ F (אמצע CB). מכאן DE=DF, וזווית EDF נחצית ע"י DB.
13. 25 סמ² — צלע = 20/4 = 5 ס"מ. שטח = 5² = 25 סמ². מסיח 100 — שכחת חלוקה לצלע.
14. (2, 1) — מ-1: y = 3x − 5. הצב: x + 6x − 10 = 4 ⇒ 7x = 14 ⇒ x = 2, y = 1.
15. 5√2 — יחס 1:1:√2. יתר = ניצב·√2 = 5√2.
16. 24 סמ² — האלכסון AC מחלק את המלבן לשני משולשים שווים. שטח כל אחד = (8·6)/2 = 24.
17. y = −2x + 7 — שיפוע ניצב = −1/(1/2) = −2. y − 3 = −2(x − 2) ⇒ y = −2x + 7.
18. y = −x + 5 — M = (1, 4). שיפוע AB = 1. שיפוע אנך = −1. y − 4 = −(x−1) ⇒ y = −x + 5.
19. A(1, 5) — A + C = B + D ⇒ A = B + D − C = (2+5−6, 1+7−3) = (1, 5).
20. 2√3 ס"מ — חצי הפרש = 2. גובה = √(16−4) = √12 = 2√3.
21. y = 3x − 1 — y − 5 = 3(x − 2) ⇒ y = 3x − 6 + 5 = 3x − 1.
22. 2 — מקבילים ⇒ שיפועים שווים: k+1 = 3 ⇒ k = 2.
23. 40 סמ² — שטח דלתון = (d₁·d₂)/2 = (10·8)/2 = 40 סמ². מסיח 80 — שכחת חלוקה ב-2.
24. שניהם נכונים — משולשים ABD ו-ACD: AB=AC, זוויות BAD=DAC (AD חוצה), AD משותפת. לפי צ.ז.צ חופפים. לכן BD=DC וגם זוויות ADB=ADC, וכיוון שסכומן 180°, כל אחת 90°.
25. 48 סמ² — שטח מלבן = 60. שטח כל משולש = (6·2)/2 = 6. שטח שנותר = 60 − 2·6 = 48 סמ².