גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(2,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3)$.
2. $10$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(6)^2+(8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
3. $m=5$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $5$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $5$.
4. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
5. $(x-3)^2+(y+1)^2=4$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=3,\ b=-1,\ r=2$: $(x-3)^2+(y+1)^2=4$.
6. $\frac{4}{5}$ — לפי פיתגורס/זהות, $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45$.
7. $(3,5)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(3,5)$.
8. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
9. $2\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
10. $(0,0),\ r=4$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{16}=4$.
11. $(-3,-1),\ r=5$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-3,-1)$ והרדיוס $r=\sqrt{25}=5$.
12. $20$ — גובה $= 20\tan 45^\circ = 20\cdot 1 = 20$ מטר.
13. $y=0x+4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(4)=0(x-(2))$, כלומר $y=0x+4$.
14. $y=5x-1$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(-1)=5(x-(0))$, כלומר $y=5x-1$.
15. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
16. $4$ — $AB=\sqrt{(4)^2+(0)^2}=\sqrt{16}=4$.
17. $y=-x+6$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(5)=-1(x-(1))$, כלומר $y=-1x+6$.
18. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
19. $(2,-3),\ r=7$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(2,-3)$ והרדיוס $r=\sqrt{49}=7$.
20. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{11-(2)}{3-(0)} = \frac{9}{3} = 3$.
21. $5\sqrt{3}$ — ניצב מול $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$.
22. $y=x-3$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=1(x-(3))$, כלומר $y=1x-3$.
23. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
24. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
25. $5$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot3+4\cdot4+0|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{25}{5}=5$.
26. $\frac{50}{\sqrt{3}}$ — גובה $= 50\tan 30^\circ = 50\cdot\frac{1}{\sqrt3} = \frac{50}{\sqrt3}$ מטר.
27. $6$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(6)^2}=\sqrt{36}=6$.
28. $30^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 30^\circ$.
29. $(5,0),\ r=3$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(5,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{9}=3$.
30. $5$ — $AB=\sqrt{(4)^2+(3)^2}=\sqrt{25}=5$.