גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
2. $9$ — $\tan 45^\circ = \frac{9}{b}$, ומכיוון ש-$\tan 45^\circ=1$ הצל הוא $9$ מטר.
3. $2\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
4. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{1-(-3)}{2-(0)} = \frac{4}{2} = 2$.
5. $8$ — $\cos 60^\circ = \frac{4}{c}=\frac12$, ולכן היתר $= \frac{4}{1/2}=8$.
6. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
7. $25$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(7)^2+(24)^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
8. $150^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 150^\circ$.
9. $10$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(6)^2+(8)^2}=\sqrt{100}=10$.
10. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-(2)}{4-(1)} = \frac{6}{3} = 2$.
11. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
12. $y=3x+1$ — שיפוע $m=\frac{10-(4)}{3-(1)}=3$. נציב נקודה: $b=4-(3)\cdot1=1$. לכן $y=3x+1$.
13. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{5-(1)}{3-(1)} = \frac{4}{2} = 2$.
14. $\frac{4}{5}$ — לפי פיתגורס/זהות, $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45$.
15. $(0,0)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=0$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,0)$.
16. $45^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{4}\cdot\frac{180}{\pi} = 45^\circ$.
17. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
18. $6$ — $\tan 30^\circ = \frac{a}{6\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$, ולכן המול $= \frac{6\sqrt3}{\sqrt3}=6$.
19. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot0-4\cdot0+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{5}{5}=1$.
20. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{6-(0)}{2-(0)} = \frac{6}{2} = 3$.
21. $60^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180}{\pi} = 60^\circ$.
22. $\frac{3\pi}{4}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $135^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$.
23. $(x+2)^2+(y-1)^2=16$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=-2,\ b=1,\ r=4$: $(x+2)^2+(y-1)^2=16$.
24. $m=-\frac{1}{3}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-\frac{1}{3}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-\frac{1}{3}$.
25. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
26. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-(2)}{4-(2)} = \frac{6}{2} = 3$.
27. $5$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(5)^2}=\sqrt{25}=5$.
28. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
29. $13$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{169}=13$.
30. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.