גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
2. $y=5x-1$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(-1)=5(x-(0))$, כלומר $y=5x-1$.
3. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
4. $45^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{4}\cdot\frac{180}{\pi} = 45^\circ$.
5. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(4,4)$.
6. $5$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(5)^2}=\sqrt{25}=5$.
7. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
8. $m=-4$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=\frac{1}{4}$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-4$.
9. $(x+2)^2+(y-1)^2=16$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=-2,\ b=1,\ r=4$: $(x+2)^2+(y-1)^2=16$.
10. $m=-\frac{1}{4}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=4$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{4}$.
11. $120^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{180}{\pi} = 120^\circ$.
12. $(2,2)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-1+5}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=(2,2)$.
13. $(4,6)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+6}{2},\frac{4+8}{2}\right)=(4,6)$.
14. $y=3x-5$ — שיפוע $m=\frac{7-(1)}{4-(2)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot2=-5$. לכן $y=3x-5$.
15. $30\sqrt{3}$ — גובה $= 30\tan 60^\circ = 30\sqrt3$ מטר.
16. $(2,3)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3)$.
17. $(x+1)^2+(y+3)^2=25$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=-1,\ b=-3,\ r=5$: $(x+1)^2+(y+3)^2=25$.
18. $\frac{25}{2}$ — שטח מעוין $= a^2\sin\theta = 25\sin 30^\circ = 25\cdot\frac12=\frac{25}{2}$.
19. $y=3x+1$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=3$. נציב את הנקודה: $b=1-(3)\cdot0=1$, ולכן $y=3x+1$.
20. $y=-x+3$ — שיפוע $m=\frac{0-(3)}{3-(0)}=-1$. נציב נקודה: $b=3-(-1)\cdot0=3$. לכן $y=-x+3$.
21. $2\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
22. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
23. $y=3x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(2)=3(x-(-1))$, כלומר $y=3x+5$.
24. $y=3x+2$ — שיפוע $m=\frac{8-(2)}{2-(0)}=3$. נציב נקודה: $b=2-(3)\cdot0=2$. לכן $y=3x+2$.
25. $6$ — $\tan 30^\circ = \frac{a}{6\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$, ולכן המול $= \frac{6\sqrt3}{\sqrt3}=6$.
26. $90^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 90^\circ$.
27. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
28. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{14-(5)}{4-(1)} = \frac{9}{3} = 3$.
29. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
30. $\sqrt{13}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}=\sqrt{13}$.