גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $135^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180}{\pi} = 135^\circ$.
2. $5$ — $AB=\sqrt{(5)^2+(0)^2}=\sqrt{25}=5$.
3. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{3-(-1)}{1-(-1)} = \frac{4}{2} = 2$.
4. $180^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 180^\circ$.
5. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $30^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$.
6. $(4,6)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+6}{2},\frac{4+8}{2}\right)=(4,6)$.
7. $360^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $2\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 360^\circ$.
8. $(0,4),\ r=7$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,4)$ והרדיוס $r=\sqrt{49}=7$.
9. $\frac{\pi}{2}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $90^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$.
10. $\frac{3\pi}{2}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $270^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}$.
11. $7$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(7)^2}=\sqrt{49}=7$.
12. $m=2$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $2$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $2$.
13. $\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
14. $6$ — $\tan 30^\circ = \frac{a}{6\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$, ולכן המול $= \frac{6\sqrt3}{\sqrt3}=6$.
15. $13$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
16. $20$ — גובה $= 20\tan 45^\circ = 20\cdot 1 = 20$ מטר.
17. $m=-\frac{1}{5}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=5$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{5}$.
18. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(1)}{4-(0)} = \frac{8}{4} = 2$.
19. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
20. $m=\frac{1}{3}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-3$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{3}$.
21. $(3,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=3$, ולכן נקודת החיתוך $(3,0)$.
22. $(2,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3)$.
23. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{6-(0)}{2-(0)} = \frac{6}{2} = 3$.
24. $270^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 270^\circ$.
25. $(0,0)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=0$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,0)$.
26. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
27. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
28. $5$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(5)^2}=\sqrt{25}=5$.
29. $y=3x+1$ — שיפוע $m=\frac{10-(4)}{3-(1)}=3$. נציב נקודה: $b=4-(3)\cdot1=1$. לכן $y=3x+1$.
30. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{9-(5)}{4-(2)}=2$. נציב נקודה: $b=5-(2)\cdot2=1$. לכן $y=2x+1$.