גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
2. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
3. $y=2x-1$ — שיפוע $m=\frac{3-(-1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=-1-(2)\cdot0=-1$. לכן $y=2x-1$.
4. $13$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
5. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
6. $y=3x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(2)=3(x-(-1))$, כלומר $y=3x+5$.
7. $\frac{\pi}{4}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $45^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$.
8. $y=4x-3$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(1)=4(x-(1))$, כלומר $y=4x-3$.
9. $(-3,-1),\ r=5$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-3,-1)$ והרדיוס $r=\sqrt{25}=5$.
10. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $30^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$.
11. $2$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot4=2$.
12. $(-2,4),\ r=6$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-2,4)$ והרדיוס $r=\sqrt{36}=6$.
13. $y=3x$ — שיפוע $m=\frac{3-(0)}{1-(0)}=3$. נציב נקודה: $b=0-(3)\cdot0=0$. לכן $y=3x$.
14. $(3,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=3$, ולכן נקודת החיתוך $(3,0)$.
15. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{1-(-3)}{2-(0)} = \frac{4}{2} = 2$.
16. $y=x$ — שיפוע $m=\frac{2-(0)}{2-(0)}=1$. נציב נקודה: $b=0-(1)\cdot0=0$. לכן $y=x$.
17. $150^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 150^\circ$.
18. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
19. $\frac{4}{5}$ — לפי פיתגורס/זהות, $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45$.
20. $\frac{3\pi}{4}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $135^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$.
21. $\frac{25}{2}$ — שטח מעוין $= a^2\sin\theta = 25\sin 30^\circ = 25\cdot\frac12=\frac{25}{2}$.
22. $(0,0),\ r=9$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{81}=9$.
23. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
24. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{11-(2)}{3-(0)} = \frac{9}{3} = 3$.
25. $(x-2)^2+(y-2)^2=1$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=2,\ b=2,\ r=1$: $(x-2)^2+(y-2)^2=1$.
26. $y=0x+4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(4)=0(x-(2))$, כלומר $y=0x+4$.
27. $y=3x-5$ — שיפוע $m=\frac{7-(1)}{4-(2)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot2=-5$. לכן $y=3x-5$.
28. $y=3x+2$ — שיפוע $m=\frac{8-(2)}{2-(0)}=3$. נציב נקודה: $b=2-(3)\cdot0=2$. לכן $y=3x+2$.
29. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
30. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{9-(5)}{4-(2)}=2$. נציב נקודה: $b=5-(2)\cdot2=1$. לכן $y=2x+1$.