גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $y=3x-2$ — שיפוע $m=\frac{4-(1)}{2-(1)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot1=-2$. לכן $y=3x-2$.
2. $y=-2x+4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(4)=-2(x-(0))$, כלומר $y=-2x+4$.
3. $60^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180}{\pi} = 60^\circ$.
4. $(-5,3),\ r=5$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-5,3)$ והרדיוס $r=\sqrt{25}=5$.
5. $y=-3x+6$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=-3(x-(2))$, כלומר $y=-3x+6$.
6. $(0,5)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=5$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,5)$.
7. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
8. $\frac{3\pi}{2}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $270^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}$.
9. $2\sqrt{3}$ — הגובה $= 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$.
10. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{3-(-1)}{1-(-1)} = \frac{4}{2} = 2$.
11. $(1,-2),\ r=6$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(1,-2)$ והרדיוס $r=\sqrt{36}=6$.
12. $45^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{4}\cdot\frac{180}{\pi} = 45^\circ$.
13. $5$ — לפי פיתגורס $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
14. $m=1$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-1$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=1$.
15. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
16. $m=-1$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-1$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-1$.
17. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
18. $(2,2),\ r=1$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(2,2)$ והרדיוס $r=\sqrt{1}=1$.
19. $(x-4)^2+y^2=9$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=4,\ b=0,\ r=3$: $(x-4)^2+y^2=9$.
20. $5$ — $AB=\sqrt{(4)^2+(3)^2}=\sqrt{25}=5$.
21. $(2,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+4}{2},\frac{5+1}{2}\right)=(2,3)$.
22. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
23. $150^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 150^\circ$.
24. לא — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. לא מתקבל שוויון — הנקודה אינה על הישר.
25. $5$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(5)^2}=\sqrt{25}=5$.
26. $\frac{4}{5}$ — היחס $\frac{4}{3}$ מתאים למשולש $3,4,5$, ולכן $\sin\theta=\frac{4}{5}$.
27. $m=\frac{1}{2}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-2$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{2}$.
28. $(0,0)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=0$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,0)$.
29. $(0,4)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=4$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,4)$.
30. $(3,5)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(3,5)$.