גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(0,-9)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=-9$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,-9)$.
2. $m=\frac{1}{2}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-2$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{2}$.
3. $y=2x$ — שיפוע $m=\frac{6-(2)}{3-(1)}=2$. נציב נקודה: $b=2-(2)\cdot1=0$. לכן $y=2x$.
4. $5$ — $AB=\sqrt{(5)^2+(0)^2}=\sqrt{25}=5$.
5. $60^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180}{\pi} = 60^\circ$.
6. $y=2x+2$ — שיפוע $m=\frac{4-(0)}{1-(-1)}=2$. נציב נקודה: $b=0-(2)\cdot-1=2$. לכן $y=2x+2$.
7. $m=-2$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-2$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-2$.
8. $y=x+1$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(3)=1(x-(2))$, כלומר $y=1x+1$.
9. $y=-x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(1)=-1(x-(4))$, כלומר $y=-1x+5$.
10. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
11. $m=1$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-1$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=1$.
12. $5$ — $AB=\sqrt{(4)^2+(3)^2}=\sqrt{25}=5$.
13. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
14. $y=-x+3$ — שיפוע $m=\frac{0-(3)}{3-(0)}=-1$. נציב נקודה: $b=3-(-1)\cdot0=3$. לכן $y=-x+3$.
15. $\frac{1}{2}$ — $\sin 30^\circ = \frac{5}{10} = \frac12$.
16. $20$ — גובה $= 20\tan 45^\circ = 20\cdot 1 = 20$ מטר.
17. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{5-(1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=1-(2)\cdot0=1$. לכן $y=2x+1$.
18. $5$ — לפי פיתגורס $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
19. $(0,8)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=8$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,8)$.
20. $30\sqrt{3}$ — גובה $= 30\tan 60^\circ = 30\sqrt3$ מטר.
21. $(3,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=3$, ולכן נקודת החיתוך $(3,0)$.
22. $15^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{12}\cdot\frac{180}{\pi} = 15^\circ$.
23. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
24. $y=\frac{1}{2}x+1$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=\frac{1}{2}$. נציב את הנקודה: $b=3-(\frac{1}{2})\cdot4=1$, ולכן $y=\frac{1}{2}x+1$.
25. $25$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(7)^2+(24)^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
26. $(2,3),\ r=5$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(2,3)$ והרדיוס $r=\sqrt{25}=5$.
27. $\frac{\pi}{3}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $60^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$.
28. $y=2x-2$ — שיפוע $m=\frac{4-(0)}{3-(1)}=2$. נציב נקודה: $b=0-(2)\cdot1=-2$. לכן $y=2x-2$.
29. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{11-(2)}{3-(0)} = \frac{9}{3} = 3$.
30. $\frac{25}{2}$ — שטח מעוין $= a^2\sin\theta = 25\sin 30^\circ = 25\cdot\frac12=\frac{25}{2}$.