גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+7}{2},\frac{1+7}{2}\right)=(4,4)$.
2. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{1-(-3)}{2-(0)} = \frac{4}{2} = 2$.
3. $13$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
4. $\frac{4}{5}$ — לפי פיתגורס/זהות, $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45$.
5. $(5,6)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{2+8}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(5,6)$.
6. $8$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(8)^2}=\sqrt{64}=8$.
7. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{9-(5)}{4-(2)}=2$. נציב נקודה: $b=5-(2)\cdot2=1$. לכן $y=2x+1$.
8. $210^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{7\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 210^\circ$.
9. $6$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(6)^2}=\sqrt{36}=6$.
10. $y=3x-2$ — שיפוע $m=\frac{4-(1)}{2-(1)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot1=-2$. לכן $y=3x-2$.
11. $2\pi$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $360^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = 2\pi$.
12. $\sqrt{13}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}=\sqrt{13}$.
13. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-(2)}{4-(2)} = \frac{6}{2} = 3$.
14. $5\sqrt{3}$ — ניצב מול $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$.
15. $9$ — $\tan 45^\circ = \frac{9}{b}$, ומכיוון ש-$\tan 45^\circ=1$ הצל הוא $9$ מטר.
16. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
17. $30\sqrt{3}$ — גובה $= 30\tan 60^\circ = 30\sqrt3$ מטר.
18. $(2,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3)$.
19. $360^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $2\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 360^\circ$.
20. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{5-(1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=1-(2)\cdot0=1$. לכן $y=2x+1$.
21. $10$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(6)^2+(8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
22. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
23. $y=x$ — שיפוע $m=\frac{2-(0)}{2-(0)}=1$. נציב נקודה: $b=0-(1)\cdot0=0$. לכן $y=x$.
24. $(1,-2),\ r=6$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(1,-2)$ והרדיוס $r=\sqrt{36}=6$.
25. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(3)}{5-(2)} = \frac{6}{3} = 2$.
26. $(x-3)^2+(y+1)^2=4$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=3,\ b=-1,\ r=2$: $(x-3)^2+(y+1)^2=4$.
27. $y=3x+1$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=3$. נציב את הנקודה: $b=1-(3)\cdot0=1$, ולכן $y=3x+1$.
28. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
29. $\frac{16}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot1+4\cdot2+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{16}{5}=\frac{16}{5}$.
30. $(-2,4),\ r=6$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-2,4)$ והרדיוס $r=\sqrt{36}=6$.