גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $5\sqrt{3}$ — הגובה $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$ מטר.
2. $2000$ — $\sin 30^\circ = \frac{1000}{d}$, ולכן $d = \frac{1000}{1/2} = 2000$ מטר.
3. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
4. לא — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. לא מתקבל שוויון — הנקודה אינה על הישר.
5. $(3,0),\ r=2$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(3,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{4}=2$.
6. $60^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180}{\pi} = 60^\circ$.
7. $y=-3x+6$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=-3(x-(2))$, כלומר $y=-3x+6$.
8. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{14-(5)}{4-(1)} = \frac{9}{3} = 3$.
9. $(2,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+4}{2},\frac{5+1}{2}\right)=(2,3)$.
10. $(-1,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-3+1}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(-1,4)$.
11. $y=-x+6$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(5)=-1(x-(1))$, כלומר $y=-1x+6$.
12. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
13. $m=1$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-1$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=1$.
14. $y=-x+1$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(3)=-1(x-(-2))$, כלומר $y=-1x+1$.
15. $y=4x-3$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(1)=4(x-(1))$, כלומר $y=4x-3$.
16. $(-2,4),\ r=6$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-2,4)$ והרדיוס $r=\sqrt{36}=6$.
17. $20$ — גובה $= 20\tan 45^\circ = 20\cdot 1 = 20$ מטר.
18. $\frac{5\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $150^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
19. $30\sqrt{3}$ — גובה $= 30\tan 60^\circ = 30\sqrt3$ מטר.
20. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-(2)}{4-(1)} = \frac{6}{3} = 2$.
21. $m=\frac{1}{2}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-2$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{2}$.
22. $\frac{2\pi}{3}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $120^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$.
23. $m=-3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-3$.
24. $13$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{169}=13$.
25. $180^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 180^\circ$.
26. $y=-2x+4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(4)=-2(x-(0))$, כלומר $y=-2x+4$.
27. $2\sqrt{2}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|1\cdot0+1\cdot0-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.
28. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(3)}{5-(2)} = \frac{6}{3} = 2$.
29. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|5\cdot0+12\cdot0-13|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{13}{13}=1$.
30. $270^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 270^\circ$.