חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

30 שאלות בנגזרות, חקירת פונקציות, בעיות קיצון ואינטגרלים — לב הבגרות.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 30

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הוא הנושא המרכזי והקשה ביותר בבגרות 4 יח"ל. דף זה כולל 30 שאלות מודרגות: חישוב נגזרת לפי כלל החזקה, מציאת משיק, חקירה מלאה של פולינום, נקודות קיצון מקומיות ומוחלטות, בעיות קיצון גאומטריות, ואינטגרציה. רמת הקושי תואמת לשאלון 471 — שליטה בנושא = הבדל של 15 נקודות בציון.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 30 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: גשר הפונקציות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-75 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-30 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~75 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-30 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 פונקציה ליניארית — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~40 דק'
🎯 אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י') · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל · 20 שאלות · ~45 דק'

1.נתונות $f (x) = x + 5$ ו- $g (x) = 2 x$ . מהו $f (g (x))$ ?
y = x + 5
(א) $3 x + 5$
(ב) $2 x + 10$
(ג) $2 x + 5$ ✓
(ד) $x + 10$
2.f(x) = √x מוגדרת ל-x ≥ 0. מהו תחום ההגדרה של g(x) = √(2x)?
(א)x ≥ 2
(ב)כל הממשיים
(ג)x ≥ 0✓
(ד)x ≥ 1/2
3.כמה פתרונות יש למשוואה x² − 4x = 0 בעזרת חיתוך y = x² − 4x עם ציר ה-x?
y = x² − 4x
(א)אחד
(ב)שלושה
(ג)אין
(ד)שניים✓
4.f(x) = x². כתוב את הפונקציה שמוזזת 2 יחידות מטה.
y = x²
(א)g(x) = −2x²
(ב)g(x) = x² + 2
(ג)g(x) = x² − 2✓
(ד)g(x) = (x − 2)²
5.כמה נקודות חיתוך יש לישר y = x עם הפרבולה y = x² − 2?
y = xy = x² − 2
(א)3
(ב)2✓
(ג)1
(ד)0
6.פונקציה y = √(x-4). מהו תחום ההגדרה?
(א)x ≤ 4
(ב)x > 4
(ג)כל הממשיים
(ד)x ≥ 4✓
7.f(x) = √x. כתוב את −√(x − 4) + 1.
(א)4 שמאלה, שיקוף, 1 מטה
(ב)4 ימינה, 1 מעלה בלבד
(ג)שיקוף ל-y, 4 ימינה, 1 מעלה
(ד)שיקוף ל-x, 4 ימינה, 1 מעלה✓
8.מהי נקודת הקיצון של g(x) = 2(x − 3)² + 1?
(א)(1, 3)
(ב)(−3, 1)
(ג)(3, −1)
(ד)(3, 1)✓
9.f(x) = x³. כתוב g(x) שמוזזת 1 שמאלה ו-8 מעלה.
y = x
(א)g(x) = (x + 1)³ + 8✓
(ב)g(x) = x³ + 1 + 8
(ג)g(x) = (x − 1)³ + 8
(ד)g(x) = (x + 1)³ − 8
10.f(x) = √x. כתוב את g שמתקבל מ-f בהזזה 4 יחידות שמאלה.
(א)g(x) = √x + 4
(ב)g(x) = √x − 4
(ג)g(x) = √(x + 4)✓
(ד)g(x) = √(x − 4)
11.f(x) = x². כתוב את הפונקציה לאחר מתיחה אנכית פי 3.
y = x²
(א)g(x) = (3x)²
(ב)g(x) = 3x²✓
(ג)g(x) = x²/3
(ד)g(x) = x² + 3
12.באיזה תחום f(x) = x² − 4 גדולה מ-g(x) = 3x?
y = x² − 4
(א)אין פתרון
(ב)−1 < x < 4
(ג)x > 4
(ד)x < −1 או x > 4✓
13.נתון f(x) = x² ו-g(x) = x + 6. מהו ערך הביטוי f(x) − g(x) במינימום?
y = x²
(א)−4
(ב)−25/4✓
(ג)−6
(ד)0
14.f(x) = x³. מהי הפונקציה לאחר כיווץ אופקי פי 2?
y = x
(א)g(x) = (x/2)³
(ב)g(x) = (2x)³✓
(ג)g(x) = x³/2
(ד)g(x) = 2x³
15.באיזה כיוון ובאיזה גודל הוזזה f(x) = x³ כדי לקבל g(x) = (x − 5)³?
y = x
(א)5 יחידות שמאלה
(ב)5 יחידות מטה
(ג)5 יחידות מעלה
(ד)5 יחידות ימינה✓
16.f(x) = 2x ו-g(x) = x + 1. מהי (g∘f)(x)?
y = 2x
(א)2(x+1)
(ב)x + 2
(ג)2x + 2
(ד)2x + 1✓
17.כדור נזרק לגובה h(t) = −5t² + 30t. מתי הוא חוזר לקרקע?
(א)t = 30 שניות
(ב)t = 5 שניות
(ג)t = 6 שניות✓
(ד)t = 3 שניות
18.f(x) = |x|. כתוב את הפונקציה לאחר מתיחה אופקית פי 4.
(א)g(x) = |x/4|✓
(ב)g(x) = |4x|
(ג)g(x) = 4|x|
(ד)g(x) = |x| + 4
19.ידוע ש-g(x) = −f(2x). אילו טרנספורמציות חלו על f?
(א)כיווץ אופקי פי 2 + שיקוף לציר ה-x✓
(ב)כיווץ אנכי פי 2 + שיקוף לציר ה-y
(ג)מתיחה אנכית פי 2
(ד)מתיחה אופקית פי 2 + שיקוף
20.נקודה (2, 4) על f(x). מה הקואורדינטות שלה ב-g(x) = −3f(x)?
(א)(2, −12)✓
(ב)(6, −12)
(ג)(2, 12)
(ד)(−2, 12)
21.פתור x + x² = 12. מהו הפתרון הקטן יותר?
(א)0
(ב)3
(ג)−4✓
(ד)−3
22.מהו תחום ההגדרה של y = 1/(x-3)?
(א)x > 3
(ב)כל הממשיים
(ג)x ≠ 3✓
(ד)x < 3
23.f(x) = x² ו-g(x) = 2x. מהי g∘f(3)?
y = x²
(א)36
(ב)6
(ג)18✓
(ד)9
24.מהי תוצאת חיבור f(x) = x² + 2x ו-g(x) = 3x + 1?
y = x² + 2x
(א)x² − x − 1
(ב)2x² + 5x + 1
(ג)x² + 5x + 1✓
(ד)x² + 5x − 1
25.טווח הפונקציה f(x) = x² הוא y ≥ 0. מהו טווח g(x) = x² + 5?
y = x²
(א)y ≥ −5
(ב)y ≤ 5
(ג)y ≥ 0
(ד)y ≥ 5✓
26.f(x) = 1/x. מהי הפונקציה לאחר הזזה 2 יחידות ימינה?
(א)g(x) = 1/(x − 2)✓
(ב)g(x) = 1/x − 2
(ג)g(x) = 1/x + 2
(ד)g(x) = 1/(x + 2)
27.מהי האסימפטוטה האנכית של g(x) = 1/(x + 5) + 2?
(א)x = 5
(ב)x = −2
(ג)x = 2
(ד)x = −5✓
28.מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = 1/x?
(א)כל המספרים הממשיים
(ב)רק מספרים שלמים
(ג)רק מספרים חיוביים
(ד)כל המספרים הממשיים חוץ מ-0✓
29.f(x) = √x. מהו תחום ההגדרה של g(x) = √(x − 7)?
(א)x ≥ −7
(ב)x ≥ 0
(ג)x ≤ 7
(ד)x ≥ 7✓
30.מהו תחום ההגדרה של y = √x?
(א)x > 0
(ב)כל הממשיים
(ג)x ≤ 0
(ד)x ≥ 0✓

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

$2x + 5$ — מחשבים $g(x) = 2x$, ואז מציבים ב-$f$: $f(g(x)) = f(2x) = 2x + 5$. שגיאה נפוצה היא להציב $x$ ולקבל $x + 10$, או לכפול את הקבוע ולקבל $2x + 10$, או להכפיל גם את המקדם וגם את הקבוע בנפרד ולקבל $3x + 5$.
x ≥ 0 — 2x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0. הכפלה חיובית בקלט אינה משנה את התחום של √x.
שניים — x(x − 4) = 0 ⇒ x = 0 ו-x = 4. שתי נקודות חיתוך.
g(x) = x² − 2 — הזזה מטה: g(x) = f(x) − 2 = x² − 2. הקבוע מתווסף לפלט.
2 — x² − 2 = x ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ (x−2)(x+1) = 0. שתי נקודות חיתוך.
x ≥ 4 — x-4 ≥ 0 → x ≥ 4.
שיקוף ל-x, 4 ימינה, 1 מעלה — x − 4 = ימינה ב-4. סימן מינוס מחוץ = שיקוף לציר ה-x. +1 = הזזה מעלה.
(3, 1) — x² עוברת מקיצון (0,0). הזזה ימינה 3 ומעלה 1 ⇒ (3, 1). המתיחה האנכית לא משנה את מיקום הקיצון.
g(x) = (x + 1)³ + 8 — שמאלה 1: x → x + 1. מעלה 8: +8. מתקבל (x + 1)³ + 8.
g(x) = √(x + 4) — הזזה שמאלה ב-p: g(x) = f(x + p) = √(x + 4).
g(x) = 3x² — מתיחה אנכית פי a: g(x) = a·f(x) = 3x². המקדם מכפיל את הפלט.
x < −1 או x > 4 — x² − 4 > 3x ⇒ x² − 3x − 4 > 0 ⇒ (x − 4)(x + 1) > 0 ⇒ x < −1 או x > 4.
−25/4 — h(x) = x² − x − 6. x_v = 1/2. h(1/2) = 1/4 − 1/2 − 6 = −25/4.
g(x) = (2x)³ — כיווץ אופקי פי 2: g(x) = f(2x) = (2x)³.
5 יחידות ימינה — g(x) = f(x − 5), והצורה f(x − p) עם p > 0 מתאימה להזזה ימינה.
2x + 1 — g(f(x)) = g(2x) = 2x + 1.
t = 6 שניות — h(t) = 0 ⇒ t(−5t + 30) = 0 ⇒ t = 0 או t = 6. חזרה לקרקע ב-t = 6.
g(x) = |x/4| — מתיחה אופקית פי 4: g(x) = f(x/4) = |x/4|.
כיווץ אופקי פי 2 + שיקוף לציר ה-x — f(2x) ⇒ q = 2 ⇒ כיווץ אופקי פי 2. סימן מינוס בחוץ ⇒ שיקוף לציר ה-x.
(2, −12) — g(2) = −3·f(2) = −3·4 = −12. ה-x לא משתנה כי הטרנספורמציה אנכית בלבד.
−4 — x² + x − 12 = 0 ⇒ (x + 4)(x − 3) = 0. שני פתרונות: x = −4 ו-x = 3. הקטן יותר: −4.
x ≠ 3 — מכנה = x-3. x-3 = 0 כשx=3. תחום: כל x חוץ מ-3.
18 — f(3) = 9. g(f(3)) = g(9) = 2(9) = 18.
x² + 5x + 1 — f + g = x² + 2x + 3x + 1 = x² + 5x + 1.
y ≥ 5 — ההזזה 5 מעלה מעבירה כל ערכי הפלט ב-5 כלפי מעלה. הטווח החדש: y ≥ 5.
g(x) = 1/(x − 2) — הזזה ימינה: g(x) = f(x − 2) = 1/(x − 2).
x = −5 — האסימפטוטה האנכית במקום שבו המכנה מתאפס: x + 5 = 0, כלומר x = −5.
כל המספרים הממשיים חוץ מ-0 — אסור לחלק באפס, לכן x = 0 מוצא מתחום ההגדרה. כל x ≠ 0 מותר
x ≥ 7 — הביטוי שמתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי: x − 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ 7.
x ≥ 0 — שורש של מספר שלילי לא מוגדר במספרים ממשיים. תחום: x ≥ 0.