חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 3 — f⁻¹(x) = (x+6)/2. f⁻¹(0) = 6/2 = 3.
2. זהה ל-−|x| — |−x| = |x|, ולכן −|−x| = −|x|. פונקציה זוגית לא משתנה משיקוף ל-y.
3. 10 — g(2) = 2+3 = 5. f(g(2)) = f(5) = 2(5) = 10.
4. 20 מטר — t_v = −20/(−10) = 2. h(2) = −20 + 40 = 20 מטר.
5. g(x) = (2x)² — כיווץ אופקי פי 2: g(x) = f(2x) = (2x)². המקדם נכנס אל הקלט.
6. x² − 2x − 4 — f − g = x² − 3 − (2x + 1) = x² − 3 − 2x − 1 = x² − 2x − 4.
7. 3 — 12 = a·4 ⇒ a = 3. המקדם של המתיחה האנכית הוא 3.
8. x = 3, x = −3 — y = |x| חותך את y = 3 בשתי נקודות x = ±3.
9. t = 2.5 שניות — t_v = −25/(−10) = 2.5 שניות.
10. g(x) = √(x − 1) + 2 — ימינה ב-1: x → x − 1. מעלה ב-2: +2. מתקבל √(x − 1) + 2 עם תחום x ≥ 1.
11. שמאלה 2, שיקוף ל-x, מעלה 3 — g(x) = −(x + 2)² + 3. שמאלה 2, שיקוף ל-x ע"י מינוס, +3 מעלה.
12. g(x) = |x − 6| — הזזה ימינה: g(x) = f(x − 6) = |x − 6|.
13. g(x) = (2x)³ — כיווץ אופקי פי 2: g(x) = f(2x) = (2x)³.
14. a < 4 — Δ > 0 ⇒ 16 − 4a > 0 ⇒ a < 4.
15. 100 — x + y = 20 ⇒ S(x) = x(20 − x) = −x² + 20x. מקסימום ב-x = 10, S = 100.
16. (16, 2) — מתיחה אופקית פי 2: x → 2x = 16. y נשאר 2.
17. הזזה 2 ימינה ו-6 מעלה — (x − 2)² מעיד על הזזה 2 ימינה, ו-+6 על הזזה 6 מעלה.
18. (0, 0), (5, 5) — x² − 4x = x ⇒ x² − 5x = 0 ⇒ x(x − 5) = 0. x = 0: y = 0. x = 5: y = 5.
19. מתיחה אופקית פי 3 והזזה 4 מטה — x/3 בתוך הריבוע = מתיחה אופקית פי 3. −4 = הזזה 4 מטה.
20. (5, 7) — ימינה 5 ומעלה 7 מעבירות את (0, 0) ל-(5, 7).
21. 5 ימינה — x² − 10x + 25 = (x − 5)². זו הזזה ימינה של 5 יחידות.
22. f⁻¹(x) = (x-1)/2 — y = 2x+1. פתור ל-x: 2x = y-1 → x = (y-1)/2. החלף y ב-x: f⁻¹(x) = (x-1)/2.
23. שיקוף לציר ה-y, מעלה 2 — f(−x): שיקוף לציר ה-y. +2: מעלה 2. תחום חדש x ≤ 0.
24. (5, 3) — ימינה 3: x → x + 3 = 5. מטה 2: y → y − 2 = 3. הנקודה החדשה: (5, 3).
25. y ≥ 0 — x² ≥ 0 לכל x. תחום הערכים: y ≥ 0.
26. g(x) = 2x − 3 — f(−x) = 2(−x) + 3 = −2x + 3. −f(−x) = −(−2x + 3) = 2x − 3.
27. 8 — תחילה g(1) = 1 + 3 = 4. לאחר מכן f(4) = 2 × 4 = 8
28. g(x) = |3x| — כיווץ אופקי פי 3: x → 3x. מתקבל |3x|.
29. ימינה 1, שיקוף ל-x, מעלה 4 — x − 1: ימינה 1. סימן מינוס בחוץ: שיקוף לציר ה-x. +4: מעלה 4.
30. x ≤ −2 או x ≥ 2 — x² − 4 ≥ 0 ⇒ x² ≥ 4 ⇒ |x| ≥ 2.