חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

30 שאלות בנגזרות, חקירת פונקציות, בעיות קיצון ואינטגרלים — לב הבגרות.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 30

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הוא הנושא המרכזי והקשה ביותר בבגרות 4 יח"ל. דף זה כולל 30 שאלות מודרגות: חישוב נגזרת לפי כלל החזקה, מציאת משיק, חקירה מלאה של פולינום, נקודות קיצון מקומיות ומוחלטות, בעיות קיצון גאומטריות, ואינטגרציה. רמת הקושי תואמת לשאלון 471 — שליטה בנושא = הבדל של 15 נקודות בציון.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 30 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: גשר הפונקציות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-75 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-30 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~75 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-30 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 פונקציה ליניארית — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~40 דק'
🎯 אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י') · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל · 20 שאלות · ~45 דק'

1.שיקוף כפול (גם לציר x וגם לציר y) של נקודה (a, b) נותן:
(א)(a, −b)
(ב)(−a, −b)✓
(ג)(a, b)
(ד)(−a, b)
2.מהי g(x) = −f(−x) אם f(x) = 2x + 3?
y = 2x + 3
(א)g(x) = 2x + 3
(ב)g(x) = 2x − 3✓
(ג)g(x) = −2x + 3
(ד)g(x) = −2x − 3
3.g(x) = −0.25·√x. תאר אילו טרנספורמציות חלו על √x.
(א)מתיחה אנכית פי 4 ושיקוף
(ב)הזזה 0.25 מטה
(ג)כיווץ אנכי פי 4 ושיקוף לציר ה-x✓
(ד)שיקוף בלבד
4.מה ניתן להסיק מכך שהגרפים של y = f(x) ו-y = g(x) נחתכים בנקודה (2, 5)?
(א)f(2) = 5 ו-g(2) = 0
(ב)אי-אפשר להסיק דבר
(ג)f(2) = g(2) = 5✓
(ד)f(5) = g(5) = 2
5.f(x) = |x|. נקודה (2, 2) עוברת לאן ב-g(x) = −3|x − 1| + 5?
(א)(3, 5)
(ב)(3, −1)✓
(ג)(1, 5)
(ד)(3, 1)
6.נתונה f(x) = 2x + 1. מהו f(f(3))?
y = 2x + 1
(א)15✓
(ב)7
(ג)14
(ד)13
7.ידוע g(x) = −f(2x). אילו טרנספורמציות חלו על f?
(א)כיווץ אופקי פי 2 ושיקוף לציר ה-x✓
(ב)מתיחה אופקית פי 2 ושיקוף לציר ה-y
(ג)כיווץ אנכי פי 2 ושיקוף לציר ה-x
(ד)הזזה 2 ימינה ושיקוף
8.גובה זריקת אבן: h(t) = −5t² + 25t + 30 (במטר). באיזה זמן h מקסימלי?
(א)t = 5 שניות
(ב)t = 3 שניות
(ג)t = 2.5 שניות✓
(ד)t = 6 שניות
9.טווח הפונקציה f(x) = x² הוא y ≥ 0. מהו טווח g(x) = x² + 5?
y = x²
(א)y ≥ −5
(ב)y ≤ 5
(ג)y ≥ 0
(ד)y ≥ 5✓
10.באיזה כיוון ובאיזה גודל הוזז הגרף של f(x) = √x כדי לקבל g(x) = √x − 3?
(א)3 יחידות מעלה
(ב)3 יחידות שמאלה
(ג)3 יחידות מטה✓
(ד)3 יחידות ימינה
11.f(x) = x² ו-g(x) = 2x. מהי g∘f(3)?
y = x²
(א)36
(ב)6
(ג)18✓
(ד)9
12.פתרון גרפי של $x^{2} - 2 x = x + 4$ הוא חיתוך אילו פונקציות?
(א) $y = x^{2}$ ו- $y = 2 x$
(ב) $y = x^{2} + 4$ ו- $y = x$
(ג) $y = x^{2} - 2 x - 4$ ו- $y = x$
(ד) $y = x^{2} - 2 x$ ו- $y = x + 4$ ✓
13.כמה נקודות חיתוך יש בין y = x² ו-y = −x² + 4?
y = x²y = −x² + 4
(א)אין
(ב)ארבע
(ג)אחת
(ד)שתיים✓
14.גרף y = √x עבר לגרף שמתחיל ב-(2, −1). מה הביטוי?
(א)g(x) = √(x + 2) + 1
(ב)g(x) = √(x − 2) − 1✓
(ג)g(x) = √(x − 2) + 1
(ד)g(x) = √(x + 2) − 1
15.f(x) = x². מהי הפונקציה לאחר שיקוף לציר ה-x?
y = x²
(א)g(x) = −x²✓
(ב)g(x) = (−x)²
(ג)g(x) = x² − 1
(ד)g(x) = 1/x²
16.f(x) = √x. כתוב את g שמתקבל מ-f בהזזה 4 יחידות שמאלה.
(א)g(x) = √x + 4
(ב)g(x) = √x − 4
(ג)g(x) = √(x + 4)✓
(ד)g(x) = √(x − 4)
17.מהם הפתרונות של (x − 1)² = 4?
(א)x = 5, x = −3
(ב)x = 2, x = −2
(ג)x = 3, x = −1✓
(ד)x = 1, x = 4
18.f(x) = 2x + 1. מהו f(f(2))?
y = 2x + 1
(א)5
(ב)10
(ג)11✓
(ד)9
19.מהו טווח הערכים של g(x) = −(x − 1)² + 4?
(א)y ≤ 4✓
(ב)y ∈ ℝ
(ג)y ≥ 4
(ד)y ≤ 1
20.g(x) = (x/3)² − 4. תאר את הקשר ל-f(x) = x².
y = x²
(א)מתיחה אופקית פי 3 והזזה 4 מטה✓
(ב)כיווץ אופקי פי 3 והזזה 4 מטה
(ג)מתיחה אנכית פי 3 והזזה 4 מטה
(ד)הזזה 3 ימינה ו-4 מטה
21.f(x) = x², g(x) = (x − 1)² + 4. תאר את הקשר.
y = x²
(א)הזזה 1 שמאלה ו-4 מעלה
(ב)הזזה 1 ימינה ו-4 מעלה✓
(ג)מתיחה אנכית פי 4
(ד)הזזה 4 ימינה ו-1 מעלה
22.פתור x + x² = 12. מהו הפתרון הקטן יותר?
(א)0
(ב)3
(ג)−4✓
(ד)−3
23.מהו תחום ההגדרה של g(x) = √(x − 4)?
(א)x ∈ ℝ
(ב)x ≥ −4
(ג)x ≥ 4✓
(ד)x > 4
24.f(x) = x³. כתוב g(x) המתקבלת מכיווץ אופקי פי 2 ושיקוף לציר ה-y.
y = x
(א)g(x) = (x/2)³
(ב)g(x) = (−2x)³✓
(ג)g(x) = (2x)³
(ד)g(x) = −(2x)³
25.נתון g(x) = (x − 5)² + 7. מהן קואורדינטות הקודקוד החדש מהמעבר מ-f(x) = x²?
y = x²
(א)(5, −7)
(ב)(−5, 7)
(ג)(5, 7)✓
(ד)(7, 5)
26.g(x) = −x³. ידוע f(x) = x³. אילו טרנספורמציות מקבילות?
y = x
(א)שיקופים כפולים
(ב)אין שיקוף
(ג)שיקוף לציר ה-x בלבד
(ד)שיקוף לציר ה-x או שיקוף לציר ה-y (אותו דבר)✓
27.f(x) = x + 4 ו-g(x) = 3x - 2. מהו (f∘g)(x)?
y = x + 4
(א)3x - 2
(ב)4x + 2
(ג)3x + 2✓
(ד)x + 4
28.פתור: |x − 2| = 5.
(א)x = 5, x = −5
(ב)x = 3
(ג)x = 7, x = −3✓
(ד)x = 7, x = 3
29.g(x) = f(4x) + 2. אילו טרנספורמציות חלו על f?
(א)כיווץ אנכי פי 4 והזזה 2 מעלה
(ב)כיווץ אופקי פי 4 והזזה 2 מעלה✓
(ג)הזזה 4 ימינה ו-2 מעלה
(ד)מתיחה אופקית פי 4 והזזה 2 מעלה
30.נתון g(x) = 2√(x + 3) − 1. אילו טרנספורמציות בוצעו על f(x) = √x?
(א)שמאלה 3, מתיחה ×2, מעלה 1
(ב)שמאלה 3, כיווץ ×2, מטה 1
(ג)שמאלה 3, מתיחה ×2, מטה 1✓
(ד)ימינה 3, מתיחה ×2, מטה 1

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

(−a, −b) — שיקוף ל-y: (−a, b). שיקוף ל-x: (−a, −b). שווה ערך לסיבוב 180° סביב הראשית.
g(x) = 2x − 3 — f(−x) = 2(−x) + 3 = −2x + 3. −f(−x) = −(−2x + 3) = 2x − 3.
כיווץ אנכי פי 4 ושיקוף לציר ה-x — |−0.25| = 0.25 = ¼. כיווץ אנכי פי 4. הסימן השלילי = שיקוף לציר ה-x.
f(2) = g(2) = 5 — נקודת חיתוך משותפת ⇒ אותו x נותן אותו y בשני הגרפים.
(3, −1) — x חדש: 2 + 1 = 3 (ימינה 1). y חדש: −3·2 + 5 = −6 + 5 = −1.
15 — f(3) = 2(3) + 1 = 7. f(f(3)) = f(7) = 2(7) + 1 = 15
כיווץ אופקי פי 2 ושיקוף לציר ה-x — f(2x) = כיווץ אופקי פי 2. המינוס בחוץ = שיקוף לציר ה-x.
t = 2.5 שניות — t_v = −25/(−10) = 2.5 שניות.
y ≥ 5 — ההזזה 5 מעלה מעבירה כל ערכי הפלט ב-5 כלפי מעלה. הטווח החדש: y ≥ 5.
3 יחידות מטה — הקבוע −3 נוסף לפלט של f, ולכן זו הזזה אנכית של 3 יחידות מטה.
18 — f(3) = 9. g(f(3)) = g(9) = 2(9) = 18.
$y = x^2 - 2x$ ו-$y = x + 4$ — כדי לפתור גרפית את $x^2 - 2x = x + 4$, מזהים את שני האגפים כפונקציות נפרדות: האגף השמאלי $f(x) = x^2 - 2x$ והאגף הימני $g(x) = x + 4$. נקודות החיתוך של שתי הפונקציות הן הפתרון הגרפי של המשוואה.
שתיים — x² = −x² + 4 ⇒ 2x² = 4 ⇒ x² = 2 ⇒ x = ±√2.
g(x) = √(x − 2) − 1 — 2 ימינה (x − 2), 1 מטה (−1). g(x) = √(x − 2) − 1.
g(x) = −x² — שיקוף לציר ה-x: g(x) = −f(x) = −x². הסימן השלילי מחוץ לפונקציה.
g(x) = √(x + 4) — הזזה שמאלה ב-p: g(x) = f(x + p) = √(x + 4).
x = 3, x = −1 — x − 1 = ±2 ⇒ x = 3 או x = −1.
11 — f(2) = 5. f(f(2)) = f(5) = 2(5)+1 = 11.
y ≤ 4 — מקסימום בקודקוד (1, 4). a = −1 < 0 ⇒ y ≤ 4.
מתיחה אופקית פי 3 והזזה 4 מטה — x/3 בתוך הריבוע = מתיחה אופקית פי 3. −4 = הזזה 4 מטה.
הזזה 1 ימינה ו-4 מעלה — (x − 1) = ימינה 1. +4 = מעלה 4.
−4 — x² + x − 12 = 0 ⇒ (x + 4)(x − 3) = 0. שני פתרונות: x = −4 ו-x = 3. הקטן יותר: −4.
x ≥ 4 — ביטוי תחת שורש ≥ 0: x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4.
g(x) = (−2x)³ — כיווץ אופקי פי 2: x → 2x. שיקוף לציר ה-y: x → −x. שילוב: −2x.
(5, 7) — ימינה 5 ומעלה 7 מעבירות את (0, 0) ל-(5, 7).
שיקוף לציר ה-x או שיקוף לציר ה-y (אותו דבר) — x³ אי-זוגית: f(−x) = −f(x). שיקוף ל-y נותן −x³, ושיקוף ל-x גם −x³.
3x + 2 — f(g(x)) = f(3x-2) = (3x-2)+4 = 3x+2.
x = 7, x = −3 — x − 2 = ±5 ⇒ x = 7 או x = −3.
כיווץ אופקי פי 4 והזזה 2 מעלה — f(4x): כיווץ אופקי פי 4. +2 בסוף: הזזה 2 מעלה.
שמאלה 3, מתיחה ×2, מטה 1 — x → (x + 3): שמאלה 3. ×2: מתיחה אנכית פי 2. −1: מטה 1.