חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. g(x) = −2x² — מתיחה אנכית פי 2: 2x². שיקוף לציר ה-x מוסיף מינוס: −2x².
2. g(x) = (x − 3)² + 5 — מציבים (x − 3) במקום x ב-f, ואז מוסיפים 5: (x − 3)² + 5.
3. (5, 7) — ימינה 5 ומעלה 7 מעבירות את (0, 0) ל-(5, 7).
4. f(x) = x² — הזזה הפוכה ל-g תחזיר אותנו ל-f. (x − 1 + 1)² − 4 + 4 = x².
5. x = 3, x = −3 — y = |x| חותך את y = 3 בשתי נקודות x = ±3.
6. t = 6 שניות — h(t) = 0 ⇒ t(−5t + 30) = 0 ⇒ t = 0 או t = 6. חזרה לקרקע ב-t = 6.
7. שיקוף ה-y לא משנה כי |x| זוגית — |−x| = |x|, ולכן f זוגית והשיקוף לציר ה-y מחזיר אותה פונקציה. שיקוף לציר ה-x משנה ל-−|x|.
8. 4 — f(0) = 0 + 2 = 2. g(f(0)) = g(2) = 2² = 4
9. 64 — P(x) = x(16 − x) = −x² + 16x. מקסימום ב-x = 8: P = 64.
10. g(x) = 1/x — f(−x) = 1/(−x) = −1/x. −f(−x) = −(−1/x) = 1/x. 1/x אי-זוגית, ולכן נשמרת.
11. x ≤ −2 או x ≥ 2 — x² − 4 ≥ 0 ⇒ x² ≥ 4 ⇒ |x| ≥ 2.
12. g(x) = |x + 2| + 3 — קודקוד (−2, 3): הזזה 2 שמאלה (x + 2), 3 מעלה (+3). g(x) = |x + 2| + 3.
13. 3 — f⁻¹ היא הפונקציה ההופכית. אם f(3)=7 אז f⁻¹(7)=3.
14. שתיים — x² = −x² + 4 ⇒ 2x² = 4 ⇒ x² = 2 ⇒ x = ±√2.
15. 100 — x + y = 20 ⇒ S(x) = x(20 − x) = −x² + 20x. מקסימום ב-x = 10, S = 100.
16. x = 7, x = −3 — x − 2 = ±5 ⇒ x = 7 או x = −3.
17. x < −1 או x > 3 — x² − 2x − 3 > 0 ⇒ (x−3)(x+1) > 0 ⇒ x < −1 או x > 3.
18. g(x) = 2x − 3 — f(−x) = 2(−x) + 3 = −2x + 3. −f(−x) = −(−2x + 3) = 2x − 3.
19. x > 1 — שורש דורש x − 1 ≥ 0, מכנה דורש x − 1 ≠ 0. שניהם יחד: x − 1 > 0.
20. x ≤ 0 — g(x) = √(−x). דורש −x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0.
21. x ≥ 0 — הזזה אנכית אינה משנה את תחום ההגדרה — היא משפיעה רק על הפלט. התחום נשאר x ≥ 0.
22. y ≥ 1 — x² ≥ 0 לכל x, לכן x² + 1 ≥ 1. הערך המינימלי הוא 1 (כאשר x = 0). תחום הערכים: y ≥ 1
23. (0, 7) — f(x) = √x מתחיל ב-(0, 0). הזזה 7 מעלה מעבירה את הנקודה ל-(0, 7).
24. y ≤ 4 — מקסימום בקודקוד (1, 4). a = −1 < 0 ⇒ y ≤ 4.
25. 450 מ"ר — 2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x. S = x(60 − 2x). x_v = 15, S = 15·30 = 450.
26. 5 יחידות ימינה — g(x) = f(x − 5), והצורה f(x − p) עם p > 0 מתאימה להזזה ימינה.
27. מתיחה פי 3 + שיקוף לציר ה-x — המקדם −3 כולל גודל |−3| = 3 (מתיחה אנכית פי 3) וסימן שלילי (שיקוף לציר ה-x).
28. 3 — f⁻¹(x) = (x+6)/2. f⁻¹(0) = 6/2 = 3.
29. שיקוף לציר ה-x או שיקוף לציר ה-y (אותו דבר) — x³ אי-זוגית: f(−x) = −f(x). שיקוף ל-y נותן −x³, ושיקוף ל-x גם −x³.
30. g(x) = √(x + 4) − 1 — הזזה שמאלה 4: √(x + 4). הזזה מטה 1: − 1. סופי: √(x + 4) − 1.