חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

30 שאלות בנגזרות, חקירת פונקציות, בעיות קיצון ואינטגרלים — לב הבגרות.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 30

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הוא הנושא המרכזי והקשה ביותר בבגרות 4 יח"ל. דף זה כולל 30 שאלות מודרגות: חישוב נגזרת לפי כלל החזקה, מציאת משיק, חקירה מלאה של פולינום, נקודות קיצון מקומיות ומוחלטות, בעיות קיצון גאומטריות, ואינטגרציה. רמת הקושי תואמת לשאלון 471 — שליטה בנושא = הבדל של 15 נקודות בציון.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 30 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: גשר הפונקציות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-75 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-30 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~75 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-30 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 פונקציה ליניארית — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~40 דק'
🎯 אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י') · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל · 20 שאלות · ~45 דק'

1.מהי g(2) אם g(x) = f(3x) ו-f(6) = 9?
(א)9✓
(ב)27
(ג)6
(ד)3
2.מהו טווח הערכים של g(x) = √x + 3?
(א)y > 3
(ב)y ∈ ℝ
(ג)y ≥ 0
(ד)y ≥ 3✓
3.פתור x + x² = 12. מהו הפתרון הקטן יותר?
(א)0
(ב)3
(ג)−4✓
(ד)−3
4.באילו ערכי a למשוואה x² − 4x + a = 0 יש שני פתרונות שונים?
(א)a > 4
(ב)a ≥ 0
(ג)a = 4
(ד)a < 4✓
5.g(x) = f(x/3). אילו טרנספורמציות חלו?
(א)מתיחה אופקית פי 3✓
(ב)כיווץ אופקי פי 3
(ג)מתיחה אנכית פי 3
(ד)הזזה 3 ימינה
6.כמה נקודות חיתוך יש בין y = x² ו-y = −x² + 4?
y = x²y = −x² + 4
(א)אין
(ב)ארבע
(ג)אחת
(ד)שתיים✓
7.f(x) = |x| − 4. מהי נקודת המינימום של הפונקציה?
(א)(0, 4)
(ב)(−4, 0)
(ג)(0, −4)✓
(ד)(4, 0)
8.f(x) = |x|. כתוב את g שהיא הזזה שמאלה 3, מתיחה אנכית פי 2, ושיקוף לציר ה-x.
(א)g(x) = −2|x + 3|✓
(ב)g(x) = 2|x − 3|
(ג)g(x) = −|2x + 3|
(ד)g(x) = −2|x − 3|
9.נתון f(x) = |x|. מהי −2f(x + 1) + 3?
(א)−2|x + 1| + 3✓
(ב)−2|x − 1| + 3
(ג)2|x + 1| − 3
(ד)−|2x + 1| + 3
10.מה ניתן להסיק מכך שהגרפים של y = f(x) ו-y = g(x) נחתכים בנקודה (2, 5)?
(א)f(2) = 5 ו-g(2) = 0
(ב)אי-אפשר להסיק דבר
(ג)f(2) = g(2) = 5✓
(ד)f(5) = g(5) = 2
11.נתון g(x) = (1/2)(x + 4)² − 3. אילו טרנספורמציות חלו על f(x) = x²?
y = x²
(א)ימינה 4, כיווץ אנכי ×1/2, מטה 3
(ב)שמאלה 4, כיווץ אנכי ×1/2, מעלה 3
(ג)שמאלה 4, מתיחה אנכית ×2, מטה 3
(ד)שמאלה 4, כיווץ אנכי ×1/2, מטה 3✓
12.גרף של f(x) = x² עם קודקוד (0, 0) עבר לקודקוד (3, −2). אילו טרנספורמציות?
y = x²
(א)2 ימינה ו-3 מטה
(ב)3 ימינה ו-2 מעלה
(ג)3 שמאלה ו-2 מטה
(ד)3 ימינה ו-2 מטה✓
13.גרף y = √x עבר לגרף שמתחיל ב-(2, −1). מה הביטוי?
(א)g(x) = √(x + 2) + 1
(ב)g(x) = √(x − 2) − 1✓
(ג)g(x) = √(x − 2) + 1
(ד)g(x) = √(x + 2) − 1
14.נתונות f(x) = 2x ו-g(x) = x + 3. מהו f(g(1))?
y = 2x
(א)5
(ב)8✓
(ג)7
(ד)11
15.f(x) = √x. כתוב את −√(x − 4) + 1.
(א)4 שמאלה, שיקוף, 1 מטה
(ב)4 ימינה, 1 מעלה בלבד
(ג)שיקוף ל-y, 4 ימינה, 1 מעלה
(ד)שיקוף ל-x, 4 ימינה, 1 מעלה✓
16.f(x) = |x|. הפונקציה נמתחת אנכית פי 2 ואז מוכפלת ב-(−1). מהי g(x)?
(א)g(x) = −|x|/2
(ב)g(x) = |−2x|
(ג)g(x) = 2|x|
(ד)g(x) = −2|x|✓
17.אם f(x) = x + 4, מהי f⁻¹(x)?
y = x + 4
(א)f⁻¹(x) = x/4
(ב)f⁻¹(x) = x - 4✓
(ג)f⁻¹(x) = 4x
(ד)f⁻¹(x) = x + 4
18.נתון f(x) = x² ו-g(x) = −3(x + 2)² − 1. אילו טרנספורמציות בוצעו על f?
y = x²
(א)ימינה 2, מתיחה פי 3, מטה 1
(ב)שמאלה 2, כיווץ פי 3, שיקוף, מטה 1
(ג)שמאלה 2, מתיחה פי 3, שיקוף לציר ה-x, מטה 1✓
(ד)שמאלה 2, מתיחה פי 3, מעלה 1
19.f(x) = |x|. כתוב g(x) ששווה למתיחה אנכית פי 5.
(א)g(x) = |5x|
(ב)g(x) = 5|x|✓
(ג)g(x) = |x|/5
(ד)g(x) = |x| + 5
20.f(x) = |x|. כתוב g(x) שהיא כיווץ אופקי פי 3.
(א)g(x) = |x/3|
(ב)g(x) = 3|x|
(ג)g(x) = |3x|✓
(ד)g(x) = |x| + 3
21.אבן נופלת ממגדל בגובה 80 מטר: h(t) = 80 − 5t². מתי מגיעה לקרקע?
(א)t = 8 שניות
(ב)t = 2 שניות
(ג)t = 4 שניות✓
(ד)t = 16 שניות
22.g(x) = f(4x) + 2. אילו טרנספורמציות חלו על f?
(א)כיווץ אנכי פי 4 והזזה 2 מעלה
(ב)כיווץ אופקי פי 4 והזזה 2 מעלה✓
(ג)הזזה 4 ימינה ו-2 מעלה
(ד)מתיחה אופקית פי 4 והזזה 2 מעלה
23.f(x) = x². כתוב את הפונקציה לאחר מתיחה אנכית פי 3.
y = x²
(א)g(x) = (3x)²
(ב)g(x) = 3x²✓
(ג)g(x) = x²/3
(ד)g(x) = x² + 3
24.גרף של |x| עבר לקודקוד (−2, 3). כתוב g(x).
(א)g(x) = |x − 2| + 3
(ב)g(x) = |x + 2| − 3
(ג)g(x) = |x − 2| − 3
(ד)g(x) = |x + 2| + 3✓
25.נתון g(x) = 3 − (x + 2)². מהו צירוף הטרנספורמציות הנכון מ-f(x) = x²?
y = x²
(א)שמאלה 2, מטה 3
(ב)שמאלה 2, שיקוף ל-x, מעלה 3✓
(ג)שמאלה 2, שיקוף ל-y, מעלה 3
(ד)ימינה 2, שיקוף ל-x, מעלה 3
26.רווח חברה (באלפי ₪): R(x) = −x² + 60x − 500, כאשר x מספר מוצרים. מהי כמות המוצרים שממקסמת רווח?
(א)30✓
(ב)500
(ג)20
(ד)60
27.f(x) = x³. כתוב g(x) המתקבלת מכיווץ אופקי פי 2 ושיקוף לציר ה-y.
y = x
(א)g(x) = (x/2)³
(ב)g(x) = (−2x)³✓
(ג)g(x) = (2x)³
(ד)g(x) = −(2x)³
28.נתון g(x) = f(2(x − 1)) + 3 כאשר f(x) = x². אילו טרנספורמציות חלו?
y = x²
(א)כיווץ אופקי ×1/2, ימינה 1, מעלה 3✓
(ב)כיווץ אנכי ×1/2, ימינה 1, מעלה 3
(ג)כיווץ אופקי ×1/2, שמאלה 1, מעלה 3
(ד)מתיחה אופקית ×2, ימינה 1, מעלה 3
29.כדור נזרק כלפי מעלה. גובהו (במטרים) ביחס לזמן: h(t) = −5t² + 20t. מהו הגובה המקסימלי?
(א)20 מטר✓
(ב)15 מטר
(ג)25 מטר
(ד)10 מטר
30.נתון g(x) = −x², המתקבל משיקוף f(x) = x² לציר ה-x. מהי נקודת הקיצון של g ומה סוגה?
y = x²
(א)אין שינוי
(ב)(0, 0) — מקסימום✓
(ג)(1, −1)
(ד)(0, 0) מינימום

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

9 — g(2) = f(3·2) = f(6) = 9.
y ≥ 3 — √x ≥ 0, לכן √x + 3 ≥ 3. טווח y ≥ 3.
−4 — x² + x − 12 = 0 ⇒ (x + 4)(x − 3) = 0. שני פתרונות: x = −4 ו-x = 3. הקטן יותר: −4.
a < 4 — Δ > 0 ⇒ 16 − 4a > 0 ⇒ a < 4.
מתיחה אופקית פי 3 — f(x/q) עם q = 1/3 < 1 פירושו מתיחה אופקית פי 3 (פי 1/q = 3).
שתיים — x² = −x² + 4 ⇒ 2x² = 4 ⇒ x² = 2 ⇒ x = ±√2.
(0, −4) — |x| מתאפס ב-x = 0, ולאחר הזזה 4 מטה הערך הוא −4. נקודת מינימום: (0, −4).
g(x) = −2|x + 3| — שמאלה 3: |x + 3|. מתיחה פי 2: 2|x + 3|. שיקוף לציר ה-x: −2|x + 3|.
−2|x + 1| + 3 — הצבה ישירה: −2·|x + 1| + 3. הזזה שמאלה 1, מתיחה פי 2 + שיקוף לציר ה-x, הזזה מעלה 3.
f(2) = g(2) = 5 — נקודת חיתוך משותפת ⇒ אותו x נותן אותו y בשני הגרפים.
שמאלה 4, כיווץ אנכי ×1/2, מטה 3 — x + 4: שמאלה 4. ×1/2: כיווץ אנכי. −3: מטה 3.
3 ימינה ו-2 מטה — (0, 0) → (3, −2): x עלה ב-3 (ימינה), y ירד ב-2 (מטה).
g(x) = √(x − 2) − 1 — 2 ימינה (x − 2), 1 מטה (−1). g(x) = √(x − 2) − 1.
8 — תחילה g(1) = 1 + 3 = 4. לאחר מכן f(4) = 2 × 4 = 8
שיקוף ל-x, 4 ימינה, 1 מעלה — x − 4 = ימינה ב-4. סימן מינוס מחוץ = שיקוף לציר ה-x. +1 = הזזה מעלה.
g(x) = −2|x| — מתיחה פי 2: 2|x|. הכפלה ב-(−1): −2|x|. זה כולל שיקוף לציר ה-x.
f⁻¹(x) = x - 4 — y = x+4 → x = y-4. פונקציה הופכית: f⁻¹(x) = x-4.
שמאלה 2, מתיחה פי 3, שיקוף לציר ה-x, מטה 1 — (x + 2) ⇒ שמאלה 2. מקדם |−3| = 3 ⇒ מתיחה אנכית פי 3. הסימן השלילי ⇒ שיקוף לציר ה-x. −1 ⇒ מטה 1.
g(x) = 5|x| — מתיחה אנכית פי 5 פירושה הכפלת כל הפלט ב-5: g(x) = 5·|x| = 5|x|.
g(x) = |3x| — כיווץ אופקי פי 3: x → 3x. מתקבל |3x|.
t = 4 שניות — 80 − 5t² = 0 ⇒ t² = 16 ⇒ t = 4.
כיווץ אופקי פי 4 והזזה 2 מעלה — f(4x): כיווץ אופקי פי 4. +2 בסוף: הזזה 2 מעלה.
g(x) = 3x² — מתיחה אנכית פי a: g(x) = a·f(x) = 3x². המקדם מכפיל את הפלט.
g(x) = |x + 2| + 3 — קודקוד (−2, 3): הזזה 2 שמאלה (x + 2), 3 מעלה (+3). g(x) = |x + 2| + 3.
שמאלה 2, שיקוף ל-x, מעלה 3 — g(x) = −(x + 2)² + 3. שמאלה 2, שיקוף ל-x ע"י מינוס, +3 מעלה.
30 — x_v = −60/(−2) = 30. כמות 30 ממקסמת רווח.
g(x) = (−2x)³ — כיווץ אופקי פי 2: x → 2x. שיקוף לציר ה-y: x → −x. שילוב: −2x.
כיווץ אופקי ×1/2, ימינה 1, מעלה 3 — f(bx) עם b = 2 ⇒ כיווץ אופקי פי 1/2. x − 1 ⇒ ימינה 1. +3 ⇒ מעלה 3.
20 מטר — t_v = −20/(−10) = 2. h(2) = −20 + 40 = 20 מטר.
(0, 0) — מקסימום — שיקוף לציר ה-x הופך את נקודת המינימום (0, 0) לנקודת מקסימום באותו מיקום.