חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

30 שאלות בנגזרות, חקירת פונקציות, בעיות קיצון ואינטגרלים — לב הבגרות.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 30

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הוא הנושא המרכזי והקשה ביותר בבגרות 4 יח"ל. דף זה כולל 30 שאלות מודרגות: חישוב נגזרת לפי כלל החזקה, מציאת משיק, חקירה מלאה של פולינום, נקודות קיצון מקומיות ומוחלטות, בעיות קיצון גאומטריות, ואינטגרציה. רמת הקושי תואמת לשאלון 471 — שליטה בנושא = הבדל של 15 נקודות בציון.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 30 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: גשר הפונקציות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-75 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-30 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~75 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-30 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 פונקציה ליניארית — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~40 דק'
🎯 אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י') · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל · 20 שאלות · ~45 דק'

1.פתרון גרפי של x² = 9 הוא נקודות חיתוך של y = x² עם איזה ישר?
y = x²
(א)x = 9
(ב)y = x + 9
(ג)y = 3
(ד)y = 9✓
2.מהו תחום ההגדרה של g(x) = 1/(x − 5)?
(א)x ≠ 5✓
(ב)x ≠ 0
(ג)x > 5
(ד)x ∈ ℝ
3.f(x) = 1/x. מהי הפונקציה לאחר הזזה 2 יחידות ימינה?
(א)g(x) = 1/(x − 2)✓
(ב)g(x) = 1/x − 2
(ג)g(x) = 1/x + 2
(ד)g(x) = 1/(x + 2)
4.f(x) = x² נמתחה אנכית פי 3 ושוקפה לציר ה-x. מה הקודקוד החדש ביחס לישן (0, 0)?
y = x²
(א)(0, 0) — לא משתנה✓
(ב)(0, 3)
(ג)(0, −3)
(ד)(3, 0)
5.נתונה g(x) = √(2x − 8). זהה את ההזזה לאחר חילוץ הצורה √(2(x − 4)). מהי ההזזה האופקית מ-f(x) = √(2x)?
(א)8 שמאלה
(ב)4 שמאלה
(ג)8 ימינה
(ד)4 ימינה✓
6.אם f(3) = 7, מהו f⁻¹(7)?
(א)21
(ב)1/7
(ג)7
(ד)3✓
7.f(x) = x². כתוב g(x) שמתקבלת ממתיחה אנכית פי 3 ושיקוף לציר ה-x.
y = x²
(א)g(x) = −3x²✓
(ב)g(x) = −x²/3
(ג)g(x) = (−3x)²
(ד)g(x) = 3x²
8.f(x) = √x. הגרף הוזז 4 שמאלה והוזז 1 מטה. מהי g(x)?
(א)g(x) = √x + 4 − 1
(ב)g(x) = √(x + 4) + 1
(ג)g(x) = √(x + 4) − 1✓
(ד)g(x) = √(x − 4) − 1
9.g(x) = −5x². מהו g(1)?
(א)−5✓
(ב)−25
(ג)5
(ד)1
10.פתור גרפית: x² = 2x + 3.
(א)x = 1, x = −3
(ב)x = 3, x = −1✓
(ג)x = 3 בלבד
(ד)אין פתרון
11.מהו תחום ההגדרה של y = 1/(x-3)?
(א)x > 3
(ב)כל הממשיים
(ג)x ≠ 3✓
(ד)x < 3
12.g(x) = (1/3)x². מהי נקודת הקיצון של הפונקציה?
(א)(1/3, 0)
(ב)(0, 0)✓
(ג)(0, 1/3)
(ד)(0, 3)
13.g(x) = −0.25·√x. תאר אילו טרנספורמציות חלו על √x.
(א)מתיחה אנכית פי 4 ושיקוף
(ב)הזזה 0.25 מטה
(ג)כיווץ אנכי פי 4 ושיקוף לציר ה-x✓
(ד)שיקוף בלבד
14.נתונה f(x) = 2x + 1. מהו f(f(3))?
y = 2x + 1
(א)15✓
(ב)7
(ג)14
(ד)13
15.g(x) = −3(x − 2)² + 7. כמה טרנספורמציות חלו על f(x) = x²?
y = x²
(א)5 — כולל מתיחה אופקית
(ב)3 — מתיחה, שיקוף, הזזה
(ג)4 — הזזה ימינה, מתיחה אנכית, שיקוף, הזזה מעלה✓
(ד)2 בלבד
16.מהי תוצאת חיבור f(x) = x² + 2x ו-g(x) = 3x + 1?
y = x² + 2x
(א)x² − x − 1
(ב)2x² + 5x + 1
(ג)x² + 5x + 1✓
(ד)x² + 5x − 1
17.באילו נקודות חותך הישר y = 2x − 1 את הפרבולה y = x²?
y = 2x − 1y = x²
(א)אין נקודות
(ב)(1, 1) — משיק✓
(ג)(0, −1)
(ד)(1, 1), (−1, −3)
18.f(x) = x³. כתוב את ½·f(2x) − 4.
y = x
(א)(2x)³/2 − 4✓
(ב)(2x)³ + 4
(ג)2(2x)³ − 4
(ד)(x/2)³ − 4
19.f(x) = |x|. הגרף הוזז 6 יחידות ימינה. מהי g(x)?
(א)g(x) = |x| − 6
(ב)g(x) = |x| + 6
(ג)g(x) = |x − 6|✓
(ד)g(x) = |x + 6|
20.אם f(x) = 3x, מהי f⁻¹(5)?
y = 3x
(א)15
(ב)5/3✓
(ג)1/5
(ד)3/5
21.הפונקציה f(x) = x² מוזזת 4 יחידות מעלה. מהי הפונקציה החדשה g(x)?
y = x²
(א)g(x) = x² + 4✓
(ב)g(x) = x² − 4
(ג)g(x) = (x − 4)²
(ד)g(x) = (x + 4)²
22.f(x) = |x|. כתוב את g שהיא הזזה שמאלה 3, מתיחה אנכית פי 2, ושיקוף לציר ה-x.
(א)g(x) = −2|x + 3|✓
(ב)g(x) = 2|x − 3|
(ג)g(x) = −|2x + 3|
(ד)g(x) = −2|x − 3|
23.נתון g(x) = −3(x − 2)² + 5. אילו טרנספורמציות חלו על f(x) = x²?
y = x²
(א)ימינה 2, מתיחה ×3, שיקוף ל-x, מעלה 5✓
(ב)ימינה 2, מתיחה ×3, מעלה 5
(ג)ימינה 2, כיווץ ×1/3, שיקוף ל-x, מעלה 5
(ד)שמאלה 2, מתיחה ×3, שיקוף ל-x, מעלה 5
24.כמה פתרונות יש למשוואה x² − 4x = 0 בעזרת חיתוך y = x² − 4x עם ציר ה-x?
y = x² − 4x
(א)אחד
(ב)שלושה
(ג)אין
(ד)שניים✓
25.מהו תחום ההגדרה של g(x) = (x + 1)/(x² − 9)?
(א)x ≠ 3 ו-x ≠ −3✓
(ב)x ∈ ℝ
(ג)x ≠ −1
(ד)x ≠ 9
26.אם f(x) = x + 4, מהי f⁻¹(x)?
y = x + 4
(א)f⁻¹(x) = x/4
(ב)f⁻¹(x) = x - 4✓
(ג)f⁻¹(x) = 4x
(ד)f⁻¹(x) = x + 4
27.נתון g(x) = 3(x + 2)² − 5. אילו טרנספורמציות בוצעו על f(x) = x²?
y = x²
(א)ימינה 2, כיווץ פי 3, מטה 5
(ב)שמאלה 2, מתיחה פי 3, מעלה 5
(ג)ימינה 2, מתיחה פי 3, מטה 5
(ד)שמאלה 2, מתיחה פי 3, מטה 5✓
28.f(x) = x². כתוב את g(x) המתקבלת מכיווץ אופקי פי 2.
y = x²
(א)g(x) = (x/2)²
(ב)g(x) = 2x²
(ג)g(x) = (2x)²✓
(ד)g(x) = x²/2
29.f(x) = √x. כתוב פונקציה שהיא כיווץ אנכי פי 2 ושיקוף לציר ה-x.
(א)g(x) = √x/2
(ב)g(x) = −2√x
(ג)g(x) = √(−x/2)
(ד)g(x) = −√x/2✓
30.f(x) = √x. בצע: שיקוף לציר ה-y ואז הזזה 3 מעלה. מהי g(x)?
(א)g(x) = √(−x + 3)
(ב)g(x) = √(−x) + 3✓
(ג)g(x) = −√x + 3
(ד)g(x) = √(x − 3)

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

y = 9 — x² = 9 ⇒ נקודות חיתוך של y = x² עם הישר האופקי y = 9.
x ≠ 5 — מכנה ≠ 0 ⇒ x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5.
g(x) = 1/(x − 2) — הזזה ימינה: g(x) = f(x − 2) = 1/(x − 2).
(0, 0) — לא משתנה — מתיחה אנכית ושיקוף סביב הראשית לא מזיזים את הקודקוד (0, 0).
4 ימינה — √(2x − 8) = √(2(x − 4)) = f(x − 4). זו הזזה של f(x) = √(2x) ב-4 יחידות ימינה.
3 — f⁻¹ היא הפונקציה ההופכית. אם f(3)=7 אז f⁻¹(7)=3.
g(x) = −3x² — מתיחה אנכית פי 3: 3·f(x) = 3x². שיקוף לציר ה-x: −3x².
g(x) = √(x + 4) − 1 — הזזה שמאלה 4: √(x + 4). הזזה מטה 1: − 1. סופי: √(x + 4) − 1.
−5 — g(1) = −5·(1)² = −5·1 = −5.
x = 3, x = −1 — x² − 2x − 3 = 0 ⇒ (x − 3)(x + 1) = 0.
x ≠ 3 — מכנה = x-3. x-3 = 0 כשx=3. תחום: כל x חוץ מ-3.
(0, 0) — מתיחה/כיווץ אנכי אינם משנים את נקודת הקיצון של x², שהיא (0, 0).
כיווץ אנכי פי 4 ושיקוף לציר ה-x — |−0.25| = 0.25 = ¼. כיווץ אנכי פי 4. הסימן השלילי = שיקוף לציר ה-x.
15 — f(3) = 2(3) + 1 = 7. f(f(3)) = f(7) = 2(7) + 1 = 15
4 — הזזה ימינה, מתיחה אנכית, שיקוף, הזזה מעלה — (x − 2) = הזזה 2 ימינה. ·3 = מתיחה פי 3. סימן מינוס = שיקוף ל-x. +7 = 7 מעלה. סה"כ 4.
x² + 5x + 1 — f + g = x² + 2x + 3x + 1 = x² + 5x + 1.
(1, 1) — משיק — x² = 2x − 1 ⇒ x² − 2x + 1 = 0 ⇒ (x − 1)² = 0. שורש כפול x = 1.
(2x)³/2 − 4 — f(2x) = (2x)³. כפל ב-½: (2x)³/2. החסר 4: (2x)³/2 − 4.
g(x) = |x − 6| — הזזה ימינה: g(x) = f(x − 6) = |x − 6|.
5/3 — f⁻¹(x) = x/3. f⁻¹(5) = 5/3.
g(x) = x² + 4 — הזזה אנכית של k יחידות מעלה: g(x) = f(x) + k. כאן k = 4, ולכן g(x) = x² + 4.
g(x) = −2|x + 3| — שמאלה 3: |x + 3|. מתיחה פי 2: 2|x + 3|. שיקוף לציר ה-x: −2|x + 3|.
ימינה 2, מתיחה ×3, שיקוף ל-x, מעלה 5 — x → (x − 2): ימינה 2. ×(−3): מתיחה פי 3 + שיקוף לציר ה-x. +5: מעלה 5.
שניים — x(x − 4) = 0 ⇒ x = 0 ו-x = 4. שתי נקודות חיתוך.
x ≠ 3 ו-x ≠ −3 — x² − 9 = 0 ⇒ x = ±3. תחום כל ℝ פרט ל-3 ו-−3.
f⁻¹(x) = x - 4 — y = x+4 → x = y-4. פונקציה הופכית: f⁻¹(x) = x-4.
שמאלה 2, מתיחה פי 3, מטה 5 — (x + 2) ⇒ שמאלה 2. מקדם 3 ⇒ מתיחה אנכית פי 3. − 5 ⇒ מטה 5.
g(x) = (2x)² — כיווץ אופקי פי 2 מתבטא ב-f(2x) = (2x)². המקדם בתוך הקלט.
g(x) = −√x/2 — כיווץ אנכי פי 2: ½·f(x). שיקוף לציר ה-x: סימן מינוס. מתקבל −√x/2.
g(x) = √(−x) + 3 — שיקוף לציר ה-y: √(−x). הזזה 3 מעלה: √(−x) + 3.