חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. y ≥ 5 — ההזזה 5 מעלה מעבירה כל ערכי הפלט ב-5 כלפי מעלה. הטווח החדש: y ≥ 5.
2. x ≥ 4 — ביטוי תחת שורש ≥ 0: x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4.
3. זוגית — f(−x) = (−x)² = x² = f(x). הפונקציה מקיימת את תנאי הזוגיות, ולכן הגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-y.
4. f(2) = g(2) = 5 — נקודת חיתוך משותפת ⇒ אותו x נותן אותו y בשני הגרפים.
5. −3 ≤ x ≤ 3 — 9 − x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 9 ⇒ −3 ≤ x ≤ 3.
6. $2x + 5$ — מחשבים $g(x) = 2x$, ואז מציבים ב-$f$: $f(g(x)) = f(2x) = 2x + 5$. שגיאה נפוצה היא להציב $x$ ולקבל $x + 10$, או לכפול את הקבוע ולקבל $2x + 10$, או להכפיל גם את המקדם וגם את הקבוע בנפרד ולקבל $3x + 5$.
7. g(x) = |x/4| — מתיחה אופקית פי 4: g(x) = f(x/4) = |x/4|.
8. x ≠ 5 — מכנה ≠ 0 ⇒ x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5.
9. g(x) = −√x/2 — כיווץ אנכי פי 2: ½·f(x). שיקוף לציר ה-x: סימן מינוס. מתקבל −√x/2.
10. g(x) = 9x² — (3x)² = 3²·x² = 9x². ניתן לכתוב את הכיווץ האופקי גם כמתיחה אנכית פי 9.
11. כל המספרים הממשיים חוץ מ-0 — אסור לחלק באפס, לכן x = 0 מוצא מתחום ההגדרה. כל x ≠ 0 מותר
12. כל המספרים הממשיים — פולינום מוגדר לכל ערך של x. אין הגבלות על תחום ההגדרה
13. (2, −12) — g(2) = −3·f(2) = −3·4 = −12. ה-x לא משתנה כי הטרנספורמציה אנכית בלבד.
14. x² − 2x − 4 — f − g = x² − 3 − (2x + 1) = x² − 3 − 2x − 1 = x² − 2x − 4.
15. g(x) = (2x)² — כיווץ אופקי פי 2: g(x) = f(2x) = (2x)². המקדם נכנס אל הקלט.
16. (3, 5) — כיווץ אופקי פי 2: x → x/2 = 3. y נשאר 5.
17. {3, 5, 7, 9} — f(0)=3, f(1)=5, f(2)=7, f(3)=9. תחום הערכים: {3, 5, 7, 9}
18. g(x) = 2x − 3 — f(−x) = 2(−x) + 3 = −2x + 3. −f(−x) = −(−2x + 3) = 2x − 3.
19. g(x) = −|x − 2| — הזזה ימינה: |x − 2|. שיקוף לציר ה-x: −|x − 2|.
20. מתיחה ×2, שיקוף ל-x, מעלה 4 — g(x) = −2|x| + 4. מתיחה פי 2 + שיקוף ל-x + הזזה מעלה 4.
21. −25/4 — h(x) = x² − x − 6. x_v = 1/2. h(1/2) = 1/4 − 1/2 − 6 = −25/4.
22. (3, 1) — x² עוברת מקיצון (0,0). הזזה ימינה 3 ומעלה 1 ⇒ (3, 1). המתיחה האנכית לא משנה את מיקום הקיצון.
23. (5, 7) — ימינה 5 ומעלה 7 מעבירות את (0, 0) ל-(5, 7).
24. כיווץ אופקי פי 2 + שיקוף לציר ה-x — f(2x) ⇒ q = 2 ⇒ כיווץ אופקי פי 2. סימן מינוס בחוץ ⇒ שיקוף לציר ה-x.
25. g(x) = |x/2| − 1 — הצבה ישירה: f(x/2) = |x/2|, ואז מורידים 1.
26. g(x) = −x³ + 2x — g(x) = f(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x.
27. כיווץ אנכי פי 4 ושיקוף לציר ה-x — |−0.25| = 0.25 = ¼. כיווץ אנכי פי 4. הסימן השלילי = שיקוף לציר ה-x.
28. x > 1 — שורש דורש x − 1 ≥ 0, מכנה דורש x − 1 ≠ 0. שניהם יחד: x − 1 > 0.
29. g(x) = (x + 1)³ + 8 — שמאלה 1: x → x + 1. מעלה 8: +8. מתקבל (x + 1)³ + 8.
30. g(x) = √(−x) — שיקוף לציר ה-y: g(x) = f(−x) = √(−x). הסימן השלילי בקלט.