סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $4$ — ממוצע $= \frac{2+4+6}{3} = \frac{12}{3} = 4$.
2. $\frac{3}{14}$ — בשליפה ראשונה $\frac{4}{8}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{3}{7}$. המכפלה $\frac{3}{14}$.
3. $\frac{3}{4}$ — הסתברות אף הצלחה היא $(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$, ולכן ההסתברות ללפחות אחת היא $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
4. $20$ — תוחלת מספר ההצלחות $= 50\cdot \frac{2}{5} = 20$.
5. $\frac{1}{5}$ — מספר הבנים שעברו $10$ מתוך $50$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{5}$.
6. $70$ — ממוצע משוקלל $= \frac{55\cdot1+75\cdot3}{1+3} = \frac{280}{4} = 70$.
7. $\frac{1}{5}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5}$.
8. $\frac{1}{2}$ — באירועים זרים $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2}$.
9. $\frac{1}{2}$ — מספר הקלפים המתאימים חלקי $52$ נותן $\frac{1}{2}$.
10. $\frac{2}{5}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{1}{3}+P(B)\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$.
11. $\frac{4}{5}$ — לפי נוסחת ההכלה וההפרדה $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$.
12. $\frac{1}{13}$ — מספר הקלפים המתאימים חלקי $52$ נותן $\frac{1}{13}$.
13. $25$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $10, 20, 30, 40$. שני האיברים האמצעיים ברשימה הממוינת $10, 20, 30, 40$ הם $20$ ו-$30$, והחציון $= \frac{20+30}{2} = 25$.
14. $2$ — השונות שווה לממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע: $\frac{(1-3)^2+(5-3)^2}{2} = 4$. סטיית התקן $= \sqrt{4} = 2$.
15. $\frac{3}{4}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
16. $\frac{1}{5}$ — שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי סך כל הנתונים: $\frac{7}{35} = \frac{1}{5}$.
17. $\frac{1}{9}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $5$ הוא $4$, ולכן ההסתברות $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.
18. $6$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $1, 3, 5, 7, 9, 11$. שני האיברים האמצעיים ברשימה הממוינת $1, 3, 5, 7, 9, 11$ הם $5$ ו-$7$, והחציון $= \frac{5+7}{2} = 6$.
19. $\frac{1}{12}$ — המספר היחיד עד $12$ שהוא כפולה של $3$ וגם של $4$ הוא $12$. ההסתברות $= \frac{1}{12}$.
20. $15$ — הגובה $15$ מופיע פעמיים ($A$ ו-$B$), יותר מכל ערך אחר — לכן הוא השכיח.
21. $20\%$ — שכיחות יחסית באחוזים $= \frac{8}{40} \cdot 100\% = 20\%$.
22. $\frac{5}{12}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{5}{12} = \frac{5}{12}$.
23. $\frac{7}{16}$ — הסתברות אף הצלחה היא $(\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}$, ולכן ההסתברות ללפחות אחת היא $1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$.
24. $2$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. הערך $2$ מופיע $3$ פעמים, יותר מכל ערך אחר.
25. $\frac{3}{10}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{3}{10} = \frac{3}{10}$.
26. $\frac{3}{5}$ — לפי נוסחת ההכלה וההפרדה $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}-\frac{3}{10}=\frac{3}{5}$.
27. $\frac{1}{3}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
28. $\frac{1}{3}$ — באירועים זרים $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$.
29. $2$ — השונות שווה לממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע: $\frac{(1-3)^2+(1-3)^2+(5-3)^2+(5-3)^2}{4} = 4$. סטיית התקן $= \sqrt{4} = 2$.
30. $\frac{3}{8}$ — כל הטלה בלתי תלויה עם הסתברות $\frac{1}{2}$. ספירת המקרים המתאימים מתוך כל המקרים נותנת $\frac{3}{8}$.