אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. 2 שעות — המרחק $= 60 \cdot 3 = 180$ ק"מ. זמן החזרה $= \frac{180}{90} = 2$ שעות.
2. x < -3 — מחלקים ב-(-2) והופכים את הסימן: x < -3.
3. $x = 4$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-8, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-8)^{2} - 4 \cdot (16) = 0, \sqrt{0} = 0. x = \frac{8 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 4$ (פתרון כפול).
4. $x \le 5$ — $3x - 6 \le x + 4 → 2x \le 10 → x \le 5$.
5. $x = 7$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $5x = 35 - 0 = 35$. נחלק ב-$5: x = \frac{35}{5} = 7$.
6. $x = 4$ — נעביר את 4 לאגף ימין: $6x = 28 - 4 = 24$. נחלק ב-$6: x = \frac{24}{6} = 4$.
7. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.
8. 5a - b — $2a + 2b + 3a - 3b = 5a - b$.
9. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
10. $x = 2$ או $x = 7$ — $a=1, b=-9, c=14$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (14) = 25$, ו-$\sqrt{25} = 5. x = \frac{9 \pm 5}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 7$.
11. 20 — נסמן רון x, דן x+5. אז $x + (x+5) = 35 → 2x = 30 → x = 15$, ודן $x+5 = 20$.
12. $x = 14$ — נוסיף 9 לשני האגפים: $x = 5 + 9 = 14$.
13. $x = 4, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 4, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 4 + (2) \cdot 2 = 16$, וכן $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 2$.
14. $x = -4$ — נעביר את 9 לאגף ימין: $2x = 1 - 9 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
15. 10 — $x + (x+1) + (x+2) = 33 → 3x + 3 = 33 → x = 10. (10, 11, 12.)$
16. 10 ש"ח — $2 \cdot 30 + g = 70 → 60 + g = 70 → g = 10$ ש"ח.
17. 3(2x + 3) — גורם משותף 3: 3(2x + 3).
18. $x^{2} - 1$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 1$.
19. $(x - 5)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = (x-5)^{2}$.
20. x + 2 — מונה $= (x-2)(x+2)$. מצמצמים (x-2): x+2 (עבור $x \ne 2)$.
21. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 8$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
22. $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$ — $a=2, b=5, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-5 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$.
23. x < 4 — 3x < 12 → x < 4.
24. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.
25. 6 ס"מ — היקף $= 2($אורך+רוחב$) = 30$, אז אורך+רוחב $= 15$. אורך $=$ רוחב+3. רוחב + רוחב $+ 3 = 15 → 2 \cdot$רוחב $= 12 →$ רוחב $= 6$.
26. $x = 2$ או $x = 3$ — $a=1, b=-5, c=6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (6) = 1$, ו-$\sqrt{1} = 1. x = \frac{5 \pm 1}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 3$.
27. $x = 1$ או $x = 4$ — $a=1, b=-5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 4$.
28. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
29. 3x — $6\frac{x}{2} = 3x$.
30. $x = 12$ — $\frac{x}{4} = 3 → x = 12$.
31. 240 ש"ח — 12 חודשים בנפרד: $12 \cdot 120 = 1440$ ש"ח. החיסכון $= 1440 - 1200 = 240$ ש"ח.
32. 15 — $4 \cdot n = 60 → n = 15$.
33. 1 שעה — להולך יתרון של $5 \cdot 2 = 10$ ק"מ. מהירות ההתקרבות $= 15 - 5 = 10$ קמ"ש. הזמן $= \frac{10}{10} = 1$ שעה.
34. $\frac{3x}{4}$ — מכנה משותף $4: \frac{2x + x}{4} = 3\frac{x}{4}$.
35. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.