אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x = 5$ — $5x + 5 = 2x + 20 → 3x = 15 → x = 5$.
2. 60 ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\cdot$ זמן $= 15 \cdot 4 = 60$ ק"מ.
3. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
4. 14 — $x = 2 \cdot 5 + 4 = 14$.
5. $x \le 5$ — $x \le 5$.
6. (x - 7)(x + 7) — הפרש ריבועים: (x-7)(x+7).
7. $x = 8$ — $-\frac{x}{2} = -4 → x = 8$.
8. $x = 7$ — $3x - 12 = 9 → 3x = 21 → x = 7$.
9. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
10. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
11. $6x^{2} - 10x$ — $2x \cdot 3x - 2x \cdot 5 = 6x^{2} - 10x$.
12. $x = 3, y = 5$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 3, y = 5$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 5 = 11$, וכן $1 \cdot 3 + (2) \cdot 5 = 13$.
13. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $10x - 6x = 13 - (1)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
14. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $3x - 8x = -5 - (10)$, כלומר -$5x = -15$. לכן $x = -15/-5 = 3$.
15. $x = 5$ — $2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5$.
16. $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$ — $a=2, b=5, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-5 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$.
17. 9 — בנים x, בנות 2x. אז $x + 2x = 27 → 3x = 27 → x = 9$.
18. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 12 - (3)$, כלומר $3x = 9$. לכן $x = \frac{9}{3} = 3$.
19. x > 4 — 2x > 8 → x > 4.
20. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
21. 4 ימים — סך העבודה $= 3 \cdot 8 = 24$ ימי-פועל. עם 6 פועלים: $\frac{24}{6} = 4$ ימים. (יחס הפוך.)
22. $x = \frac{1}{3}$ או $x = 3$ — $a=3, b=-10, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (3) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{10 \pm 8}{6}$, ולכן $x = \frac{1}{3}$ או $x = 3$.
23. $x = -6$ או $x = 2$ — $a=1, b=4, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-12) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{-4 \pm 8}{2}$, ולכן $x = -6$ או $x = 2$.
24. 15 ו-5 — $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. אז $3y + y = 20, 4y = 20, y = 5, x = 15$.
25. 18 ו-12 — $x + y = 30, x - y = 6$. נחבר: $2x = 36, x = 18$, ואז $y = 12$.
26. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
27. $x = -2$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 3 - (9)$, כלומר $3x = -6$. לכן $x = -\frac{6}{3} = -2$.
28. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
29. (x - 4)(x + 3) — מכפלה -12 וסכום -1: -4 ו-3.
30. 20 — $x + (x+1) = 41 → 2x + 1 = 41 → x = 20. (20$ ו-21.)
31. x > 3 — x > 3.
32. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
33. $2x^{2} - 5x - 3$ — $2x^{2} - 6x + x - 3 = 2x^{2} - 5x - 3$.
34. x — מצמצמים $x: x^{2}/x = x ($עבור $x \ne 0)$.
35. x + 2 — מצמצמים (x-3): התוצאה x+2 (עבור $x \ne 3)$.