אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x^{2} - 6x + 9$ — $(x-3)^{2} = x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 = x^{2} - 6x + 9$.
2. (x - 2)(x - 3) — מכפלה 6 וסכום -5: -2 ו-3-.
3. $x = 5$ — נעביר את -3 לאגף ימין: $5x = 22 + 3 = 25$. נחלק ב-$5: x = \frac{25}{5} = 5$.
4. 42 ש"ח — מחיר לק"ג $= \frac{24}{4} = 6$ ש"ח. עבור 7 ק"ג: $7 \cdot 6 = 42$ ש"ח.
5. $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$ — $a=3, b=-2, c=-1$. דיסקרימיננטה $= (-2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{2 \pm 4}{6}$, ולכן $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$.
6. $x = -3$ או $x = 4$ — $a=1, b=-1, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{1 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 4$.
7. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 4x + 2x = x^{2} + 6x$.
8. $x = -2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-6, c=-16$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (-16) = 100, \sqrt{100} = 10. x = \frac{6 \pm 10}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 8$.
9. $x^{2} - 1$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 1$.
10. $x = 0$ או $x = 7$ — מכפלה שווה אפס כאשר אחד הגורמים אפס: $x = 0$ או $x - 7 = 0$, כלומר $x = 7$.
11. 2x — $8\frac{x}{4} = 2x$.
12. 15 ו-5 — $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. אז $3y + y = 20, 4y = 20, y = 5, x = 15$.
13. $x = 5$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ (פתרון כפול).
14. 200 ש"ח — אחרי הנחה של 20% משלמים 80% מהמחיר: $0.8 \cdot x = 160$, ולכן $x = \frac{160}{0}.8 = 200$ ש"ח.
15. $x = 2$ או $x = 9$ — $a=1, b=-11, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{11 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 9$.
16. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
17. $x = -4$ — נעביר את 9 לאגף ימין: $2x = 1 - 9 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
18. $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$ — $a=2, b=1, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-1 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$.
19. $x = 5$ — נעביר את -2 לאגף ימין: $7x = 33 + 2 = 35$. נחלק ב-$7: x = \frac{35}{7} = 5$.
20. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
21. (x - 3)(x + 3) — הפרש ריבועים: $x^{2} - 3^{2} = (x-3)(x+3)$.
22. (x - 3)(x - 4) — מכפלה 12 וסכום -7: -3 ו-4-.
23. x < -3 — מחלקים ב-(-2) והופכים את הסימן: x < -3.
24. 20% — כמות החומר $= 4 \cdot 0.25 = 1$ ליטר. נפח כולל $= 1 + 4 = 5$ ליטר. ריכוז $= \frac{1}{5} = 0.20 = 20%$.
25. $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$ — $a=2, b=-7, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (3) = 25, \sqrt{25} = 5. x = \frac{7 \pm 5}{4}$, ולכן $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$.
26. 6x + 6 — $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
27. 9 — בנים x, בנות 2x. אז $x + 2x = 27 → 3x = 27 → x = 9$.
28. 60 ש"ח — ההנחה $= 25%$ מ-$80 = 20$ ש"ח. המחיר $= 80 - 20 = 60$ ש"ח.
29. 5x - 3 — $6x - 3 - x = 5x - 3$.
30. $x = 10$ — $x + 2 = 12 → x = 10$.
31. $x = 2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-10, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (16) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{10 \pm 6}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 8$.
32. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
33. $\frac{3x}{4}$ — מכנה משותף $4: \frac{2x + x}{4} = 3\frac{x}{4}$.
34. $x = -6$ או $x = 2$ — $a=1, b=4, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-12) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{-4 \pm 8}{2}$, ולכן $x = -6$ או $x = 2$.
35. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.