אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
2. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
3. $x^{2} + 10x + 25$ — $(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^{2} + 10x + 25$.
4. 42 ש"ח — מחיר לק"ג $= \frac{24}{4} = 6$ ש"ח. עבור 7 ק"ג: $7 \cdot 6 = 42$ ש"ח.
5. $\frac{3x}{4}$ — מכנה משותף $4: \frac{2x + x}{4} = 3\frac{x}{4}$.
6. 5a - b — $2a + 2b + 3a - 3b = 5a - b$.
7. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
8. 6a — $7a - 3a + 2a = 6a$.
9. $x = 12$ — $\frac{x}{4} = 3 → x = 12$.
10. $x = 4$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 4x = 18 - (6)$, כלומר $3x = 12$. לכן $x = \frac{12}{3} = 4$.
11. $x^{2} + 6x$ — $3x^{2} + 6x - 2x^{2} = x^{2} + 6x$.
12. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
13. 1 שעה — להולך יתרון של $5 \cdot 2 = 10$ ק"מ. מהירות ההתקרבות $= 15 - 5 = 10$ קמ"ש. הזמן $= \frac{10}{10} = 1$ שעה.
14. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
15. $x = -5$ או $x = -2$ — $a=1, b=7, c=10$. דיסקרימיננטה $= (7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (10) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{-7 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = -2$.
16. שליש — קצב העבודה $= \frac{1}{6}$ לשעה. ב-2 שעות: $2 \cdot (\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
17. $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$ — $a=3, b=-2, c=-1$. דיסקרימיננטה $= (-2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{2 \pm 4}{6}$, ולכן $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$.
18. $x = 3$ — נעביר את 1 לאגף ימין: $8x = 25 - 1 = 24$. נחלק ב-$8: x = \frac{24}{8} = 3$.
19. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.
20. $x = 5$ — נעביר את -7 לאגף ימין: $4x = 13 + 7 = 20$. נחלק ב-$4: x = \frac{20}{4} = 5$.
21. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 6x + 9 - 9 = x^{2} + 6x$.
22. $x \le 5$ — מחלקים את שני האגפים ב-$2$ (מספר חיובי — סימן אי-השוויון נשאר): $\frac{2x}{2} \le \frac{10}{2}$, ומקבלים $x \le 5$.
23. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
24. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 5$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
25. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
26. 28 — $\frac{x}{4} + 5 = 12 → \frac{x}{4} = 7 → x = 28$.
27. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
28. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
29. (x - 4)(x + 2) — מכפלה -8 וסכום -2: -4 ו-2.
30. $x = 5$ — נעביר את 5 לאגף ימין: $3x = 20 - 5 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
31. 6 ס"מ — היקף $= 2($אורך+רוחב$) = 30$, אז אורך+רוחב $= 15$. אורך $=$ רוחב+3. רוחב + רוחב $+ 3 = 15 → 2 \cdot$רוחב $= 12 →$ רוחב $= 6$.
32. 60 — $\frac{x}{5} = 12 → x = 60$.
33. $x = 5$ — $5x + 5 = 2x + 20 → 3x = 15 → x = 5$.
34. 16 ש"ח — עלות כוללת $= 4 \cdot 10 + 6 \cdot 20 = 40 + 120 = 160$ ש"ח. משקל כולל $= 10$ ק"ג. ממוצע $= \frac{160}{10} = 16$ ש"ח.
35. $x = 15$ — $2x = 30 → x = 15$.