אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. 2x(x + 2) — גורם משותף 2x: 2x(x + 2).
2. $x = 8$ — $-\frac{x}{2} = -4 → x = 8$.
3. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $4 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 14$, וכן $2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 = 0$.
4. 60 ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\cdot$ זמן $= 15 \cdot 4 = 60$ ק"מ.
5. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
6. $x = 5$ — $8x - 4 = 3x + 21 → 5x = 25 → x = 5$.
7. (x - 7)(x + 7) — הפרש ריבועים: (x-7)(x+7).
8. $x = 5$ — נעביר את -7 לאגף ימין: $4x = 13 + 7 = 20$. נחלק ב-$4: x = \frac{20}{4} = 5$.
9. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
10. $x = 5$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $4x - 6x = -2 - (8)$, כלומר -$2x = -10$. לכן $x = -10/-2 = 5$.
11. 3(x - 2)(x + 2) — הוצאת $3: 3(x^{2} - 4) = 3(x-2)(x+2)$.
12. 14 — $x = 2 \cdot 5 + 4 = 14$.
13. $x = 9$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $6x = 54 - 0 = 54$. נחלק ב-$6: x = \frac{54}{6} = 9$.
14. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
15. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
16. 90 קמ"ש — מהירות $=$ מרחק $/$ זמן $= \frac{360}{4} = 90$ קמ"ש.
17. $x = 5$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ (פתרון כפול).
18. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
19. 6x + 6 — $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
20. 1 שעה — להולך יתרון של $5 \cdot 2 = 10$ ק"מ. מהירות ההתקרבות $= 15 - 5 = 10$ קמ"ש. הזמן $= \frac{10}{10} = 1$ שעה.
21. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 8$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
22. $x = 15$ — $x = 5 \cdot 3 = 15$.
23. $x = 12$ — מכנה משותף $4: 2\frac{x}{4} + \frac{x}{4} = 3\frac{x}{4} = 9 → 3x = 36 → x = 12$.
24. $x = 5$ או $x = -5$ — $x^{2} = 25$, ולכן $x = \pm 5. ($אפשר גם לפרק: $(x-5)(x+5)=0.)$
25. $x = 2$ או $x = 3$ — $a=1, b=-5, c=6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (6) = 1$, ו-$\sqrt{1} = 1. x = \frac{5 \pm 1}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 3$.
26. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
27. $x = 4$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-8, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-8)^{2} - 4 \cdot (16) = 0, \sqrt{0} = 0. x = \frac{8 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 4$ (פתרון כפול).
28. $x = -4$ — נעביר את 11 לאגף ימין: $2x = 3 - 11 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
29. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 5$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
30. 32% — כמות החומר $= 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.2 = 1 + 0.6 = 1.6$ ליטר. נפח כולל $= 5$ ליטר. ריכוז $= 1.\frac{6}{5} = 0.32 = 32%$.
31. $x = 5$ — נעביר את -3 לאגף ימין: $5x = 22 + 3 = 25$. נחלק ב-$5: x = \frac{25}{5} = 5$.
32. $x \le 5$ — כדי לבודד את $x$, מחלקים את שני אגפי אי-השוויון ב-$5$ (מספר חיובי, ולכן סימן אי-השוויון נשמר): $\frac{5x}{5} \le \frac{25}{5}$, ומקבלים $x \le 5$.
33. $x = 3, y = 5$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 3, y = 5$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 5 = 11$, וכן $1 \cdot 3 + (2) \cdot 5 = 13$.
34. $x = -4$ — נעביר את 9 לאגף ימין: $2x = 1 - 9 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
35. $x = 3$ או $x = 6$ — $a=1, b=-9, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{9 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 6$.