אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. 2 שעות — המרחק $= 60 \cdot 3 = 180$ ק"מ. זמן החזרה $= \frac{180}{90} = 2$ שעות.
2. 20 — $x + (x+1) = 41 → 2x + 1 = 41 → x = 20. (20$ ו-21.)
3. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 6x + 9 - 9 = x^{2} + 6x$.
4. $x = -6$ או $x = 2$ — $a=1, b=4, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-12) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{-4 \pm 8}{2}$, ולכן $x = -6$ או $x = 2$.
5. 6x + 6 — $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
6. 42 ש"ח — מחיר לק"ג $= \frac{24}{4} = 6$ ש"ח. עבור 7 ק"ג: $7 \cdot 6 = 42$ ש"ח.
7. x < 4 — 3x < 12 → x < 4.
8. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
9. $x = 7$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $5x = 35 - 0 = 35$. נחלק ב-$5: x = \frac{35}{5} = 7$.
10. 10 ש"ח — $2 \cdot 30 + g = 70 → 60 + g = 70 → g = 10$ ש"ח.
11. $x = 5$ — נעביר את 5 לאגף ימין: $3x = 20 - 5 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
12. x + 10 — $4x + 4 - 3x + 6 = x + 10$.
13. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).
14. x + 2 — מצמצמים (x-3): התוצאה x+2 (עבור $x \ne 3)$.
15. 6a — $7a - 3a + 2a = 6a$.
16. x > 4 — 2x > 8 → x > 4.
17. $x > 3$ — מבודדים את $x$ על ידי הוספת $3$ לשני אגפי אי-השוויון: $x - 3 + 3 > 0 + 3$, ומקבלים $x > 3$. סימן אי-השוויון נשמר כי לא כפלנו ולא חילקנו במספר שלילי.
18. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
19. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
20. $x = 3, y = 4$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 7$, וכן $2 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 10$.
21. 60 — $\frac{x}{5} = 12 → x = 60$.
22. $6x^{2} - 10x$ — $2x \cdot 3x - 2x \cdot 5 = 6x^{2} - 10x$.
23. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
24. $x = 1$ או $x = 8$ — $a=1, b=-9, c=8$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{9 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 8$.
25. 3x + 8 — $5x - 2x + 8 = 3x + 8$.
26. 1 שעה — להולך יתרון של $5 \cdot 2 = 10$ ק"מ. מהירות ההתקרבות $= 15 - 5 = 10$ קמ"ש. הזמן $= \frac{10}{10} = 1$ שעה.
27. 2x(x + 2) — גורם משותף 2x: 2x(x + 2).
28. $x = -4$ או $x = -1$ — $a=1, b=5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot (4) = 9, \sqrt{9} = 3. x = \frac{-5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = -1$.
29. $x = -2$ או $x = 5$ — $a=1, b=-3, c=-10$. דיסקרימיננטה $= (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{3 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 5$.
30. 3(2x + 3) — גורם משותף 3: 3(2x + 3).
31. $x \ge 3$ — $-2x \le -6 → x \ge 3 ($היפוך סימן).
32. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
33. פתרון יחיד (כפול) — דיסקרימיננטה $= 36 - 36 = 0$, לכן יש פתרון יחיד: $x = 3$. אכן $x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}$.
34. שליש — קצב העבודה $= \frac{1}{6}$ לשעה. ב-2 שעות: $2 \cdot (\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
35. 60 ש"ח — ההנחה $= 25%$ מ-$80 = 20$ ש"ח. המחיר $= 80 - 20 = 60$ ש"ח.