אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. 12 — נסמן הבן x, האבא 3x. אז $x + 3x = 48 → 4x = 48 → x = 12$.
2. $x = 5$ — $5x + 5 = 2x + 20 → 3x = 15 → x = 5$.
3. $x = 8$ — נחסר 12 משני האגפים: $x = 20 - 12 = 8$.
4. x(x + 2) — גורם משותף x: x(x + 2).
5. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.
6. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
7. 15 — $4 \cdot n = 60 → n = 15$.
8. $x = 10$ — $x + 2 = 12 → x = 10$.
9. $x \le 5$ — $x \le 5$.
10. 3(x - 2)(x + 2) — הוצאת $3: 3(x^{2} - 4) = 3(x-2)(x+2)$.
11. 10 — $x + (x+1) + (x+2) = 33 → 3x + 3 = 33 → x = 10. (10, 11, 12.)$
12. (x + 3)(x - 2) — מכפלה -6 וסכום 1: 3 ו-2-.
13. $x = -1$ או $x = 6$ — $a=1, b=-5, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{5 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -1$ או $x = 6$.
14. $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$ — $a=3, b=-2, c=-1$. דיסקרימיננטה $= (-2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{2 \pm 4}{6}$, ולכן $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$.
15. $x = -4$ או $x = 2$ — $a=1, b=2, c=-8$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36$, ו-$\sqrt{36} = 6. x = \frac{-2 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = 2$.
16. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
17. $x = 4$ או $x = 4$ — $a=1, b=-8, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-8)^{2} - 4 \cdot (16) = 0, \sqrt{0} = 0. x = \frac{8 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 4$ או $x = 4$.
18. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 3x = 11 - (-1)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
19. 20% — כמות החומר $= 4 \cdot 0.25 = 1$ ליטר. נפח כולל $= 1 + 4 = 5$ ליטר. ריכוז $= \frac{1}{5} = 0.20 = 20%$.
20. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
21. x + 2 — מונה $= (x-2)(x+2)$. מצמצמים (x-2): x+2 (עבור $x \ne 2)$.
22. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
23. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
24. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).
25. $x = 3, y = 4$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 4$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (3) \cdot 4 = 18$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = -1$.
26. x > 3 — x > 3.
27. $x = 6$ — מכנה משותף $3: 3\frac{x}{3} - \frac{x}{3} = 2\frac{x}{3} = 4 → 2x = 12 → x = 6$.
28. $x = 4$ — נעביר את 4 לאגף ימין: $6x = 28 - 4 = 24$. נחלק ב-$6: x = \frac{24}{6} = 4$.
29. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $2 \cdot 4 + (2) \cdot 4 = 16$, וכן $3 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 8$.
30. $x = 4$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 4x = 18 - (6)$, כלומר $3x = 12$. לכן $x = \frac{12}{3} = 4$.
31. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 6x + 9 - 9 = x^{2} + 6x$.
32. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
33. $x = 3$ או $x = 3$ — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 3$.
34. (x - 3)(x - 4) — מכפלה 12 וסכום -7: -3 ו-4-.
35. $x \le 5$ — $3x - 6 \le x + 4 → 2x \le 10 → x \le 5$.