אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x = 15$ — $x = 5 \cdot 3 = 15$.
2. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
3. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
4. פתרון יחיד (כפול) — דיסקרימיננטה $= 36 - 36 = 0$, לכן יש פתרון יחיד: $x = 3$. אכן $x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}$.
5. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
6. $x \le 5$ — $x \le 5$.
7. $x = 2$ או $x = 3$ — $a=1, b=-5, c=6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (6) = 1$, ו-$\sqrt{1} = 1. x = \frac{5 \pm 1}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 3$.
8. $x = -2$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 3 - (9)$, כלומר $3x = -6$. לכן $x = -\frac{6}{3} = -2$.
9. $x = 8$ — $-\frac{x}{2} = -4 → x = 8$.
10. $x = 5$ — נעביר את -7 לאגף ימין: $4x = 13 + 7 = 20$. נחלק ב-$4: x = \frac{20}{4} = 5$.
11. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $5 \cdot 3 + (2) \cdot 2 = 19$, וכן $3 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 = 5$.
12. $\frac{3x}{4}$ — מכנה משותף $4: \frac{2x + x}{4} = 3\frac{x}{4}$.
13. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
14. 138 ש"ח — התוספת $= 15%$ מ-$120 = 18$ ש"ח. המחיר $= 120 + 18 = 138$ ש"ח.
15. 3 שעות — זמן $=$ מרחק $/$ מהירות $= \frac{240}{80} = 3$ שעות.
16. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 6x + 9 - 9 = x^{2} + 6x$.
17. 5a - b — $2a + 2b + 3a - 3b = 5a - b$.
18. 15 ו-5 — $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. אז $3y + y = 20, 4y = 20, y = 5, x = 15$.
19. 3(2x + 3) — גורם משותף 3: 3(2x + 3).
20. 3x + 8 — $5x - 2x + 8 = 3x + 8$.
21. $x = -3$ או $x = 4$ — $a=1, b=-1, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{1 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 4$.
22. $x^{2} - 1$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 1$.
23. $x = 5$ — $2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5$.
24. 8 ש"ח — נסמן עט x ומחברת x+6. אז $x + (x+6) = 22 → 2x = 16 → x = 8$ ש"ח.
25. $x \ge 4$ — $2x \ge 8 → x \ge 4$.
26. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
27. $x = 5, y = 2$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 5 + (1) \cdot 2 = 17$, וכן $2 \cdot 5 + (-1) \cdot 2 = 8$.
28. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $3x - 8x = -5 - (10)$, כלומר -$5x = -15$. לכן $x = -15/-5 = 3$.
29. $\frac{x}{2}$ — מכנה משותף $6: \frac{2x + x}{6} = 3\frac{x}{6} = \frac{x}{2}$.
30. $x = -1$ או $x = 6$ — $a=1, b=-5, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{5 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -1$ או $x = 6$.
31. 7x — איברים דומים: $4x + 3x = 7x$.
32. $x^{2} + 10x + 25$ — $(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^{2} + 10x + 25$.
33. x + 2 — מצמצמים (x-3): התוצאה x+2 (עבור $x \ne 3)$.
34. $x = 5$ — $6x + 3 = 5x + 8 → x = 5$.
35. 16 ש"ח — עלות כוללת $= 4 \cdot 10 + 6 \cdot 20 = 40 + 120 = 160$ ש"ח. משקל כולל $= 10$ ק"ג. ממוצע $= \frac{160}{10} = 16$ ש"ח.