מספרים שלמים — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. b < 0 — מכפלה חיובית של מספר שלילי מחייבת שהגורם השני יהיה גם שלילי (שלילי כפול שלילי = חיובי).
2. 41 — 4 − 9 = −5; 3 · (−5) = −15; 20 − (−15) = 35; 35 − (−6) = 41.
3. −6 — סוגריים פנימיים: 5 − 8 = −3; 3 − (−3) = 6; הסימן בחוץ: −6.
4. 11 — סוגריים: −3 + 1 = −2; −4 · (−2) = 8; 6 : (−2) = −3; 8 − (−3) = 11.
5. אין פתרון — ערך מוחלט הוא תמיד אי-שלילי, ולכן הוא לעולם לא שווה למספר שלילי. אין פתרון.
6. 1 — ערך מוחלט שווה לאפס רק כאשר הביטוי בפנים הוא אפס: x − 1 = 0, ולכן x = 1.
7. −8 — ב-−2³ החזקה חלה רק על 2: 2³ = 8, ואז מוסיפים את המינוס: −8.
8. (−3)² = 9 ו-−3² = −9 — ב-(−3)² כל ה-−3 בחזקה: (−3) · (−3) = 9. ב-−3² רק 3 בחזקה: −(3 · 3) = −9.
9. 1 — (−2)³ = −8; (−3)² = 9; −8 + 9 = 1.
10. −2 — חילוק בשבר = כפל בהפכי: (−1/2) · 4 = −4/2 = −2.
11. −1/3 — ההפכי הכפלי הוא המספר שמכפלתו במקור נותנת 1: −3 · (−1/3) = 1.
12. −1/3 — ככל ששבר שלילי קרוב יותר לאפס הוא גדול יותר. −1/3 קרוב יותר לאפס מ-−1/2, ולכן −1/3 > −1/2.
13. 1200 מטר — 1500 − 600 = 900 (הצלילה היא ירידה של 600), ואז 900 + 300 = 1200 מטר.
14. −3 — האמצע הוא הממוצע: (−10 + 4) : 2 = −6 : 2 = −3.
15. −3 — המספר השלם הגדול ביותר שקטן מ-−2.5 הוא −3 (שכן −2 גדול מ-−2.5).
16. −1, 0, 1 — −2 < x פירושו x גדול מ-−2 (לא כולל), ו-x ≤ 1 כולל את 1. לכן x שייך ל-{−1, 0, 1}.
17. √16 — √16 = 4, שהוא מספר שלם ולכן רציונלי. השורשים האחרים אינם של ריבועים שלמים ולכן אי-רציונליים.
18. 7 — 7² = 49 ו-8² = 64. מכיוון ש-50 קרוב מאוד ל-49, √50 קרוב ביותר ל-7.
19. 17 — (−3)² = 9; 2 · (−4) = −8; 9 − (−8) = 9 + 8 = 17.
20. 0 — −5² = −25 ו-(−5)² = 25, ולכן −25 + 25 = 0.
21. −2 — (−12 + 4) = −8; (−8) : (−2) = 4; (−3) · 2 = −6; 4 + (−6) = −2.
22. 18 — |−10| = 10; (−2)³ = −8; 10 − (−8) = 10 + 8 = 18.
23. 38 — (−3)² = 9; 2 · 9 = 18; (−4) · 5 = −20; 18 − (−20) = 18 + 20 = 38.
24. 1 — (−1)³ = −1; (−1)⁴ = 1; (−1)⁵ = −1; (−1) · 1 · (−1) = 1.
25. −12 — כופלים את שני האגפים ב-−3: x = 4 · (−3) = −12.
26. −5 — 2x = −7 − 3 = −10, ולכן x = −10 : 2 = −5.
27. שלילי — חיובי חלקי שלילי נותן תוצאה שלילית (סימנים שונים).
28. שלילי — −2³ = −8 (שלילי) ו-(−2)² = 4 (חיובי). שלילי כפול חיובי = שלילי. (התוצאה −32.)
29. −3 ו-−7 — −3 + (−7) = −10 ו-(−3) · (−7) = 21. שני המספרים שליליים.
30. 12 — |−3| = 3; 3² = 9; 9 − (−3) = 9 + 3 = 12.
31. −10 — |−2| = 2; (−4) · 2 = −8; 6 : (−3) = −2; −8 + (−2) = −10.
32. 13 — √25 = 5; (−2)³ = −8; 5 − (−8) = 5 + 8 = 13.
33. 5 — (−2)⁴ = 16; |−4| = 4; 16 : 4 = 4; (−1)⁹ = −1; 4 − (−1) = 4 + 1 = 5.
34. 7 — בתוך הסוגריים: (−3) · 2 = −6; −6 − (−4) = −6 + 4 = −2. המינוס שבחוץ: −(−2) = 2. ואז 2 + |−5| = 2 + 5 = 7.
35. 12 — הזוגות (x,y): (±5,0),(0,±5),(±3,±4),(±4,±3) — סה״כ 2+2+4+4=12 פתרונות.
36. 100 — לפי משפט וילסון: (p−1)! ≡ −1 (mod p) לכל ראשוני p. לכן 100! ≡ −1 ≡ 100 (mod 101).
37. נניח שיש סופית פ.ראשוניים p₁...pₙ — המספר p₁×...×pₙ+1 לא מתחלק באף אחד מהם, סתירה — זוהי ההוכחה של אוקלידס: אם קיימת רשימה סופית של כל הראשוניים, המכפלה שלהם + 1 יוצרת ראשוני חדש — סתירה.
38. 61 — N − 1 מתחלק ב-2,3,4,5,6. מ.מ.ר = 60. N − 1 = 60 → N = 61.
39. 3168 — סה״כ 4 ספרות: 9000. ללא 7: 8×9×9×9=5832. עם 7 לפחות פעם: 9000−5832=3168.
40. 34 — מתחלקים ב-2: 50. ב-3: 33. ב-6: 16. לפי כלל ה-ORתחסרו: |2∪3| = 50 + 33 − 16 = 67. שאינם: 100 − 67 = 33. (תיקון: 100 − 67 = 33. ספירה מדויקת: מ-1 עד 100, לא-מתחלקים ב-2 ולא ב-3: כל 6 מספרים יש 2 כאלה: 1,5. 100/6 = 16 שלמות + 4 שאריות. 16·2 = 32. שאריות: 97, 98, 99, 100. מהם: 97, 101(מחוץ לתחום). לכן 32 + 1 = 33.)